Matrices Definidas

Matrices Definidas (Positivas y Negativas).
Si se tiene una matriz cuadrada A, se le puede asociar una funci´n llamada o forma cuadr´tica, de la siguiente manera: a fA (x) = xAxt Ejemplos: si A = 1 35 2 entonces 1 3 5 2 x1 x2

fA (x1 , x2 ) = (x1 , x2 ) fA (x1 , x2 ) = (x1 , x2 )

x1 + 5x2 3x1 + 2x2

fA (x1 , x2 ) = x2 + 5x1 x2 + 3x1 x2 + 2x2 1 2 fA (x1 , x2 ) = x2 + 8x1 x2 + 2x2 1 2 si B= 1 −2 −2 5 entonces 1 −2 −2 5 x1 x2

fB (x1 , x2 ) = (x1 , x2 )

fA (x1 , x2 ) = x2 − 4x1 x2 + 5x2 1 2 Definiciones • La matriz A es definida positiva si su forma cuadr´tica es positiva para acualquier x = 0 • La matriz A es definida negativa si su forma cuadr´tica es negativa para a cualquier x = 0 • La matriz A es semidefinida positiva si su forma cuadr´tica es positiva a o igual a cero paracualquier x = 0 • La matriz A es semidefinida negativa si su forma cuadr´tica es negativa a o igual a cero para cualquier x = 0 De las definiciones no es tan claro como determinar cuando la matriz esdefinida positiva o definida negativa, por lo cual existen algunas formas mas sencillas de ver esto. El inter´s de estos resultados es poder aplicarlos en la e matriz Hessiana de una funci´n continuas, esdecir, en matrices sim´tricas. o e Para el caso de la matriz a b b c se tienen las siguientes condiciones: 1

• Si ac − b2 > 0 y a > 0 entonces A es definida positiva. • Si ac − b2 > 0 y a < 0entonces A es definida negativa. • Si ac − b2 < 0 entonces A no es definida positiva ni definida negativa. As´ del ejemplo anterior A no es definida positiva ni definida negativa, pero ı −2 3 es definida negativa.B es definida positiva, en tanto que C = 3 −5 Para matrices de orden mayor, se tienen una generalizaci´n. o Sea A una matriz de n × n entonces el k − esimo menor principal de A, denotado por Ak es eldeterminante de la matriz cuadrada con las primeras k columnas y los primeras k renglones de la matriz.   a b c d e  b f g h i    Q= c g j k l     d h k m n  e i l n o a b b f c g d h...