matrices simetrica y hermiticas

Matrices Sim´tricas y Herm´
e
ıticas
Notas para los cursos 21 y 22 (J.L. Mancilla Aguilar)

1.

Matrices Ortogonales y Unitarias

A lo largo de toda esta nota siempre se considerar´ el producto interno can´nico en Kn , con
a
o
K = R ´ C.
o
Se dice que una matriz P ∈ Cn×n es unitaria si P H P = P P H = I , o, equivalentemente, si
P −1 = P H . Cuando P es real y unitaria, es decir P∈ Rn×n y P −1 = P T , se dice que P es
ortogonal.
Observamos que de las definiciones precedentes y del hecho que (P H )H = P se deduce
inmediatamente que P es unitaria (ortogonal) si y s´lo si P H (P T ) es unitaria (ortogonal).
o
Tambi´n es relativamente sencillo demostrar que si P es unitaria entonces P y P T tambi´n lo
e
e
son.
Por ejemplo, si
P1 =

1+i
2
1+i
2

−1+i
2
1− i
2y

P2 =

3
5
−4
5

4
5
3
5

,

H
T
T
se comprueba inmediatamente que P1 , P1 y P1 son unitarias y que P2 y P2 son ortogonales.
2 mientras que las columnas (filas)
Observe que las columnas (filas) de P1 forman una b.o.n de C
de P2 forman una b.o.n. de R2 . Esto no es casual, como lo muestra el siguiente teorema

Teorema 1 Sea P ∈ Cn×n (P ∈ Rn×n ). Son equivalentes:
(a) P esunitaria (ortogonal).
(b) Las columnas de P forman una b.o.n. de Cn (Rn ).
(c) Las filas de P forman una b.o.n. de Cn (Rn ).
Demostraci´n. S´lo demostraremos el caso en que P es unitaria, ya que el caso en que la
o
o
matriz es ortogonal se deduce empleando los mismos argumentos.
Sea P = [u1 u2 · · · un ], donde ui ∈ Cn es la i-´sima columna de P . Entonces
e
 H
H

u1
u1 u1 uH u2 ·· · uH un
1
1
 uH 
 uH u1 uH u2 · · · uH un 
2
2

2
2
P H P =  .  [u1 u2 · · · un ] =  .
,
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
uH u1 uH u2 · · ·
n
n

uH
n

uH un
n

y por lo tanto uH uj es el elemento del producto P H P ubicado en la posici´n ij .
o
i
Luego,
P H P = I ⇐⇒ uH uj =
i

0
1

si i = j
si i = j

⇐⇒ {u1 , u2 , . . . , un } es b.o.n.de Cn .

De esto ultimo deducimos inmediatamente que (a) implica (b), y tambi´n que (b) implica
´
e
(a), ya que si las columnas de P forman una b.o.n. de Cn entonces P H P = I y, por ser P
cuadrada, tambi´n P P H = I . (Justifique esto ultimo.)
e
´
1

Para probar las restantes equivalencias alcanza con demostrar, por ejemplo, que (a) es equivalente a (c). Pero ello se deduceinmediatamente de la equivalencia establecida entre (a) y (b),
de que la transpuesta herm´
ıtica de una matriz unitaria es unitaria y del hecho de que las filas
de P son las columnas de P T .
En efecto, si vale (a), es decir, si P es unitaria, entonces P T tambi´n es unitaria y por lo
e
tanto, por (b), las columnas de P T , que son las filas de P , forman una b.o.n. de Cn .
Rec´
ıprocamente, si lasfilas de P forman una b.o.n. de Cn , entonces P T resulta unitaria y
luego P tambi´n es unitaria.
e
El siguiente teorema da algunas propiedades importantes de las matrices unitarias.
Teorema 2 Sea P ∈ Cn×n unitaria.
Entonces vale lo siguiente:
(a) (P x, P y ) = (x, y ) para todo x, y ∈ Cn .
(b)

P x = x para todo x ∈ Cn .

(c) Si λ es autovalor de P entonces |λ| = 1.
(d) |det(P )| = 1.
(e)Si Q ∈ Cn×n es unitaria entonces P Q es unitaria.
Demostraci´n.
o
(a) Ejercicio.
(b) Se deduce de (a).
(c) Sea λ un autovalor de P . Entonces existe v ∈ Cn no nulo tal que Av = λv . Luego, usando
(b) y teniendo en cuenta que v = 0, tenemos que
v = Av = |λ| v

y de all´ |λ| = 1.
ı

(d) Se deduce de (c) teniendo en cuenta que el determinante de P es el producto de los autovalores
de Prepetidos seg´n sus multiplicidades.
u
Otra posible demostraci´n es la siguiente: teniendo en cuenta que P H P = I ,
o
1 = det(I ) = det(P H P ) = det(P H )det(P ).
Entonces, usando el siguiente resultado de determinantes:
det(AH ) = det(A),
tenemos que 1 = det(P )det(P ) = |det(P )|2 y de all´ resulta que |det(P )| = 1.
ı
(e) Ejercicio.

2.

Diagonalizaci´n de Matrices...