Matrices simetricas

Matrices Sim´tricas y Diagonalizaci´n Ortogonal e o

Definici´n o 

a11  . Sea A =  . . am1
1

··· .. . ···

 a1n .  de tama˜o m × n con entradas complejas. .  n . amn

Definimos lamatriz conjugada de A, denotada por A, como la matriz que se obtiene al conjugar las entradas de A, estos es   a11 · · · a1n  .  .. . .  A= . . . . am1 · · · amn La transpuesta hermitiana de A,denotada por AH , se define como t AH = A . Decimos que A es hermitiana si A = AH .

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Ejemplo Determine si la matriz A = 1 1+i 1−i es hermitiana. 2

Definici´n o 

a11  . Sea A =  .. am1
1

··· .. . ···

 a1n .  de tama˜o m × n con entradas complejas. .  n . amn

Definimos la matriz conjugada de A, denotada por A, como la matriz que se obtiene al conjugar las entradasde A, estos es   a11 · · · a1n  .  .. . .  A= . . . . am1 · · · amn La transpuesta hermitiana de A, denotada por AH , se define como t AH = A . Decimos que A es hermitiana si A = AH .

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3Ejemplo Determine si la matriz A = 1 1+i 1−i es hermitiana. 2

Teorema Sea A una matriz hermitiana de tama˜o n×n entonces los valores propios n de A son reales. Esto es, si λ es un valor propio deA entonces λ ∈ R. En particular, si A una matriz sim´trica con entradas reales, entonces sus e valores propios son reales y por tanto sus vectores propios son reales. Teorema Sea A una matrizhermitiana de tama˜o n×n y sean x y y vectores propios n de valores propios λ1 y λ2 , respectivamente. Si λ1 = λ2 entonces x · y = 0, es decir, x y y son ortogonales. El teorema tambi´n se cumple si A es unae matriz sim´trica con entradas reales. e

Teorema Sea A una matriz hermitiana de tama˜o n×n entonces los valores propios n de A son reales. Esto es, si λ es un valor propio de A entonces λ ∈ R.En particular, si A una matriz sim´trica con entradas reales, entonces sus e valores propios son reales y por tanto sus vectores propios son reales. Teorema Sea A una matriz hermitiana de tama˜o n×n...