matrices y determinantes

Definición de matriz
Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos aij
dispuestos en m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma:

Abreviadamente suele expresarse en la forma A =(aij), con i =1, 2, ..., m, j =1, 2,
..., n. Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el
primero denota la fila ( i ) y el segundo lacolumna ( j ). Por ejemplo el elemento
a25 será el elemento de la fila 2 y columna 5.

Tipos de matrices:
Matriz fila:

Es una matriz que solo tiene una fila, es decir m =1 y por tanto es de
orden 1 x n.

a11

a12 a13  a1n 

Matriz columna: Es una matriz que solo tiene una columna, es decir, n =1
y por tanto es de orden m x 1.

 a11 
 
 a21 
a 
 31 
  
a 
 m1

Matriz cuadrada:

Es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas, es
decir m = n. En estos casos se dice que la matriz cuadrada es de orden n, y no n x n.
Los elementos aij con i = j, o sea aii forman la llamada diagonal principal de la matriz
cuadrada, y los elementos aij con i + j = n +1 la diagonal secundaria.

 a11 a12

 a21 a22
a
a32
31

 
a
 n1an 2

a13  a1n 

a23  a2 n 
a33  a3n 

  
an 3  ann 


Tipos de matrices:
Matriz traspuesta: Dada una matriz A, se llama traspuesta de A, y se representa por At, a la
matriz que se obtiene cambiando filas por columnas. La primera fila de A es la primera fila de
At , la segunda fila de A es la segunda columna de At, etc.

De la definición se deduce que si A es deorden m x n, entonces At es de orden n x m.

Matriz simétrica: Una matriz cuadrada A es simétrica si A = At, es decir,
si aij = aji " i, j.

Matriz antisimétrica: Una matriz cuadrada es antisimétrica si A = –At, es
decir, si aij = –aji " i, j.

Tipos de matrices:
Matriz nula es aquella que todos sus elementos son 0 y se representa por 0

La matriz

es una matriz nula de orden 3

Lamatriz

es una matriz nula de orden 2 x 4

Tipos de matrices:
Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada, en la que todos los elementos no
pertenecientes a la diagonal principal son nulos.

Matriz escalar: Es una matriz diagonal con todos los elementos de la diagonal
iguales

Matriz unidad o identidad: Es una matriz escalar con los elementos de la
diagonal principal iguales a 1.

Tiposde matrices:
Matriz Triangular:

Es una matriz cuadrada que tiene nulos todos los
elementos que están a un mismo lado de la diagonal principal.
Las matrices triangulares pueden ser de dos tipos:

Triangular Superior: Si los elementos que están por debajo de la
diagonal principal son todos nulos. Es decir, aij = 0 " i < j.

Triangular Inferior: Si los elementos que están por encima de ladiagonal principal son todos nulos. Es decir, aij = 0 " j < i.

matriz triangular inferior

matriz triangular superior

Operaciones con matrices
Trasposición de matrices

Suma y diferencia de matrices
Producto de una matriz por un número
Propiedades simplificativas
Producto de matrices

Matrices inversibles

Operaciones con matrices
Trasposición de matrices
Dada una matriz deorden m x n, A = (aij), se llama matriz traspuesta de A, y se representa por
At, a la matriz que se obtiene cambiando las filas por las columnas (o viceversa) en la matriz A.
Es decir:

Propiedades de la trasposición de matrices:
1ª.- Dada una matriz A, siempre existe su traspuesta y además es única.

2ª.- La traspuesta de la matriz traspuesta de A es A. a (At)t = A.

Operaciones conmatrices
Suma y diferencia de matrices
La suma de dos matrices A=(aij), B=(bij) de la misma dimensión, es otra matriz S=(sij) de la misma
dimensión que los sumandos y con término genérico sij=aij+bij. Por tanto, para poder sumar dos
matrices estas han de tener la misma dimensión.
La suma de las matrices A y B se denota por A+B.
Ejemplo

Sin embargo,

no se pueden sumar.

La diferencia...