Matrices y determinantes

Algebra Lineal Matrices: definiciones, propiedades y operaciones

Definición: Una matriz es un arreglo rectangular de números. Los números en el arreglo se denominan elementos de la matriz. Ejemplos: ⎤ ⎡ ⎡ √ ⎤ 1 2 − 2 π ⎣ 3 0 ⎦ , 2 1 0 −3 , ⎣ 3 1 0 ⎦ , 1 , 4 2 3 −1 4 0 0 0 En general Definición. Una matriz A de m × n en un arreglo rectangular de mn números dispuestos en m renglones y ncolumnas ⎛ ⎞ a11 a12 ... a1j ... a1n ⎜ a21 a22 ... a2j ... a2n ⎟ ⎜ ⎟ ⎜: ⎟ : : : : : ⎜ ⎟ A=⎜ ⎟ ⎜ ai1 ai2 .. aij .. ain ⎟ ⎝: ⎠ : : : : : am1 am2 .. amj .. amn m×n

2

donde

ai1 ai2 ai3 ... ain

aij ⎢ a2j ⎢ ⎢ : se llama renglón i y ⎢ ⎢ aij ⎢ ⎣ : amj

⎡

⎤

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ se llama columna j . ⎥ ⎥ ⎦

La componente o elemento ij de A, denotado por aij, es el número que aparece en el renglón i y lacolumna j de A. Nota: Las matrices se representan con letras mayúsculas, mientras que los elementos de la matriz con letras minúsculas. Ejemplo: Localización de las componentes de una matriz ⎛ ⎞ 1 6 4 A = ⎝ 2 −3 5 ⎠ 7 4 0 3

renglón 2: columna 3: elemento (1,2): elemento (3,1): elemento (3,2): Igualdad de matrices Definición: A = (aij ) y B = (bij ) son iguales si i) Son del mismo tamaño ii) Loscomponentes correspondientes son iguales.. Ejemplo: ¿Son iguales las siguientes matrices? i)

4 1 5 2 −3 0 −2 0 1 3 1 0 0 1
y y

y

1+3 1 2+3 1+1 1−4 6−6 0 −2 1 3 1 0 0 0 1 0
4

ii)

iii)

Matrices especiales Matriz nula. Todos los elementos de una matriz de orden m × n son ceros, y se denota por 0m×n Ejemplo ⎛ ⎞ 0 0 0 0 0 ⎝0 0 0⎠ 0 1×1 0 0 2×2 0 0 0 3×3 Matriz renglón. Si U es unamatriz con 1 renglón y n columnas (i.e. del orden 1 × n). Ejemplo i) U1 = (1, 3, −5, 1)1x4 ii) U2 = (6, 9, −11, 5, 0, 8)1x6

Matriz columna. Si U es una matriz con una columna y m renglones (i.e de orden m×1). Ejemplo ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 4 0 ⎜3⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ U1 = ⎝ U2 = ⎜ 5 ⎟ ⎜ ⎟ ⎠ −8 ⎝9⎠ −2 4x1 2 5x1 5

Matriz identidad: Matriz cuadrada que tiene unos en la diagonal principal y ceros fuera de esta yse denota por In×n Ejemplos ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 0 0 0 1 0 0 ⎜ ⎟ 1 0 ⎝ 0 1 0 ⎠ , ⎜ 0 1 0 0 ⎟ , etc , ⎝0 0 1 0⎠ 0 1 0 0 1 0 0 0 1 Diagonal principal. La diagonal principal de la matriz A esta formada por los elementos aij tales que i = j , es decir, la forman los elementos: Diag(A) = {a11, a22, a33, ...ann}

Matriz cuadrada. Si A es una matriz m × n con m = n (i.e. el número de renglones igual al número decolumnas). Ejemplo ⎛ ⎞ 1 6 −2 −1 −2 A1 = ⎝ 3 1 4 ⎠ A2 = −7 1 2x2 2 −6 5 3x3

6

Matriz triangular inferior. Una matriz cuadrada se llama triangular inferior si todas sus componentes arriba de la diagonal principal son cero. Ejemplos ⎛ ⎞ 2 0 0 0 ⎜ −5 4 0 0 ⎟ 0 0 ⎟ A1 = , A2 = ⎜ ⎝6 1 2 0⎠ 5 1 3 0 1 5

Matriz triangular superior: Una matriz cuadrada se llama triangular superior si todas suscomponentes abajo de la diagonal principal son cero. Ejemplos ⎛ ⎞ 2 −3 5 1 5 A1= ⎝ 0 1 6 ⎠ , A2 = 0 −2 0 0 2

7

Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada cuyos elemtos fuera de la diagonal principal son cero. Ejemplo ⎛ ⎞ a 0 0 0 .. .. 0 ⎜ 0 b 0 0 .. .. 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 c 0 .. .. 0 ⎟ ⎟ A=⎜ donde a, b, c, ...n ∈ R ⎜: : ⎟ ⎜ ⎟ ⎝: : ⎠ 0 0 0 0 .. .. n

la matriz diagonal tiene la caracteristica de quesi se eleva a la k-esima potencia la matriz resultante se obtiene de elevar cada una de los elementos de la diagonal a la potencia. ⎛ k ⎞ a 0 0 0 .. .. 0 ⎜ 0 bk 0 0 .. .. 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 ck 0 .. .. 0 ⎟ ⎟ Ak = ⎜ ⎜: : ⎟ ⎜ ⎟ ⎝: : ⎠ 0 0 0 0 .. .. nk 8

Ejemplo

8 0 0 D = ⎝ 0 −2 0 ⎠ , 0 0 2

⎛

⎞

32768 0 0 −32 0 ⎠ D5 = ⎝ 0 0 0 32

⎛

⎞

9

Operaciones con matrices Definición. Suma dematrices. Sean A = (aij) y B = (bij) dos matrices m × n. Entonces la suma de A y B es la matriz m × n A + B dada por ⎛ ⎞ a11 + b11 a12 + b12 .. a1n + b1n ⎜ a21 + b21 a22 + b22 .. a2n + b2n ⎟ ⎟ A + B = (aij + bij ) = ⎜ ... ⎝ ⎠ : : : am1 + bm1 am2 + bm2 .. amn + bmn Es decir, A + B es la matriz m × n que se obtiene al sumar las componentes correspondientes de A y B. Advertencia La suma de matrices...