Matriz Algebraica

MATRIZ ALGEBRAICA
Una matriz m×n es una tabla o arreglo rectangular A de números reales con m reglones (o filas) y n columnas. (Reglones son horizontales y columnas son verticales.) Los números m y n son las dimensiones de A.
Los números reales en la matriz se llaman sus entradas. La entrada en reglón i y columna j se llama aij o Aij
una matriz 4×5. Mueva el ratón sobre las entradas para versus nombres.
A = | | 0 | 1 | 2 | 0 | 3 | | | A11 = 0 |
| | 1/3 | -1 | 10 | 1/3 | 2 | | | |
| | 3 | 1 | 0 | 1 | -3 | | | |
| | 2 | 1 | 0 | 0 | 1 | | | |

Operaciones con matrices
Trasposición
La matriz traspuesta, AT, de la matriz A es la matriz que se obtiene cambiando las filas por las columnas (o viceversa) en la matriz A. Sea A una matiz m×n y B = AT, entoncesB es la matriz n×m con bij = aji.
Suma, Resta
Sea A y B matrices con las mismas dimensiones, entonces sus suma, A+B, se obtiene sumando entradas correspondientes. En símbolos, (A+B)ij = Aij + Bij. En forma parecida, sus resta, A - B, obtiene restando entradas correspondientes. En símbolos, (A-B)ij = Aij - Bij.
Multiplicación escalar
Sea A una matriz y c un número (llamado un escalar eneste contexto), definimos el múltiple escalar, cA, como la matriz que se obtiene multiplicando cada entrada de A por c. En símbolos, (cA)ij = c(Aij).
Producto
Sea A una matriz con dimensiones m×n y B una matriz con dimensiones n×p, entonces el producto AB está definido, y tiene dimenciones m×p. La entrada (AB)ij se obtiene por multiplicar reglón i de A por columna j de B, hecho por multiplicarsus entradas correspondientes y sumar las resultados.
Trasposición
  | | 0 | 1 | 2 | | T |
| 1/3 | -1 | 10 | | |
| = | | 0 | 1/3 | |
| 1 | -1 | |
| 2 | 10 | |
|
Suma y múltiple escalar
| 0 | 1 | |
| 1/3 | -1 | |
| + | 2 | | 1 | -1 | |
| 2/3 | -2 | |
| = | | 2 | -1 | |
| 5/3 | -5 | |
|
Producto
| 0 | 1 | |
| 1/3 | -1 | |
| | 1| -1 | |
| 2/3 | -2 | |
| = | | 2/3 | -2 | |
| -1/3 | 5/3 | |
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Álgebra de matrices
La matriz unidad de orden n×n es la matriz I de orden n×n en la cual todas las entradas son cero excepto los de la diagonal principal, que son 1. En símbolos:
Iij = 1 si i = j y Iij = 0 si i ≠ j.
Una matriz cero es una matriz O en la cual todas las entradas son cero.
Las operaciones deadición, multiplicación escalar, multiplicación entre matrices se cumplen las siguientes reglas:
A+(B+C) = (A+B)+C | Regla asociativa de adición |
A+B = B+A | Regla conmutativa de adición |
A+O = O+A = A | Regla unidad de adición |
A+( - A) = O = ( - A)+A | Regla inversa de adición |
c(A+B) = cA+cB | Regla distributiva |
(c+d)A = cA+dA | Regla distributiva |
1A = A | Unidad escalar|
0A = O | Cero escalar |
A(BC) = (AB)C | Regla asociativa de multiplicación |
AI = IA = A | Regla unidad de multiplicación |
A(B+C) = AB + AC | Regla distributiva |
(A+B)C = AC + BC | Regla distributiva |
OA = AO = O | Multiplicación por matriz cero |
(A+B)T = AT + BT | Trasposición de una suma |
(cA)T = c(AT) | Trasposición de un producto escalar |
(AB)T = BTAT |Trasposición de un producto matriz |
La única regla que está notablemente ausente es la de conmutatividad del producto entre matrices. El producto entre matrices no es conmutativo: AB no es igual a BA en general.
La siguiente es la matriz unidad de orden 4×4:
I = | | 1 | 0 | 0 | 0 | |
| | 0 | 1 | 0 | 0 | |
| | 0 | 0 | 1 | 0 | |
| | 0 | 0 | 0 | 1 | |
El fallo de la reglaconmutativa para el producto entre matrices se muestra por el siguiente ejemplo:
A = | | 0 | 1 | |
| | 1/3 | -1 | |
| B = | | 1 | -1 | |
| 2/3 | -2 | |
|

AB = | | 2/3 | -2 | |
| -1/3 | 5/3 | |
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BA = | | -1/3 | 2 | |
| -2/3 | 8/3 | |
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Forma matriz de un sistema de ecuaciones lineales
Una aplicación importante de multiplicación entre matrices es la...