Maximos Y Minimos

MAXIMOS Y MINIMOS
En calculo En matemáticas, los máximos y mínimos de una función, conocidos colectivamente como extremos de una función, son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos), que toma una función en un punto situado ya sea dentro de una región en particular de la curva (extremo local) o en el dominio de la función en su totalidad (extremo global o absoluto). De maneramás general, los máximos y mínimos de un conjunto (como se define en teoría de conjuntos) son los elementos mayor y menor en el conjunto, cuando existen. El localizar valores extremos es el objetivo básico de la optimización matemática.
DEFINICIONES Máximo local, mínimo localSea f(x, y) definida en una región R que contiene al punto (a, b). Entonces, 1- F(a, b) es un valor máximo local de fsi f(a, b) ≥ f(x, y) para todos los puntos del dominio (x, y) en un disco abierto con centro en (a, b). 2- F(a, b) es un valor mínimo local de f si f(a, b) ≤f(x, y) para todos los puntos del dominio (x, y) en un disco abierto con centro en (a, b). |

Vista desde el punto (10, 15,20). La función que la define tiene un valor máximo de 0 y un valor mínimo de –a sobre la región cuadrada |x| ≤ a,|y| ≤ a.
Los maximos locales corresponden a ìcos de montañas en la superficie z = f(x,y) y los minimos locales corresponden a fondos de valle(figura 14.38). En tales puntos, los planos tangentes (cuando existen) son horizontales. Los extremos locales tambien se conocen como extremos relativos.
Como en el caso de las funciones de una sola variable, la clave para identificar los extremos localeses un criterio de la primera derivada.

CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA PARA VALORES EXTREMOS LOCALES
Si f (x,z) tiene un valor máximo o mínimo local en un punto interno (a,b), de su dominio, y si las primeras derivadas existen en el punto, entonces fx (a,b) = 0 y fy (a,b) = 0
DEMOSTRACION Si f tiene un extremo local en (a,b) , entoces la función g(x) = f (x,b) tiene un extremo local en x= a (figura 14.39). por tanto, g´(a) = 0 (teorema 2 del capítulo 4). Ahora g´(a) = fx (a,b), de modo que fx (a,b) = 0. Un argumento similar con la función h(y)=f(a,y) muestra que fy (a,b) = 0
Si sustituimos los valores fx (a,b) = 0 y fy (a,b) = 0 en la ecuacion fx (a,b) (x-a) + fy (a,b) (y-b) - (z - f(a,b)) = 0 del plano tangente a la superficie z = f (x,y) en(a,b), la ecuacion se reduce a 0*(x-a) + 0*(y-b) – z + f (a,b) = 0
O bien
z = f (a,b)
PUNTO CRÍTICO
Un punto interior del dominio de una función f (x,y) donde fx y fy se anulan, o bien donde alguna de estas variables no existe, es un punto crítico de f
El teorema 10 dice que los únicos puntos donde una función f (x,y) puede asumir valores extremos son los puntoscríticos y los puntos fronteras. Al igual que en las funciones diferenciables de una sola variable, no todo punto crítico da lugar a un extremo local. Una función diferenciable de una variable podría tener un punto de inflexión. Una función diferenciable de dos variables puede tener un punto silla.
PUNTO DE SILLA
Una función diferenciable f (x,y) tiene un punto silla en un punto critico (a,b) si encada disco abierto con centro en (a,b) existen puntos del dominio (x,y) donde f(x,y) >f(a,b). y puntos del dominio (x,y) donde f(x,y) <f(a,b). El punto correspodiente (a,b, f(a,b)) sobre la superficie z = f (x,y) se conoce como punto de silla de la superficie

CRITERIO DE DERIVADAS PARCIALES SEGUNDAS

Sea f una función de clase c2 en un conjunto abierto D ⊆ R2 que Contenga el puntocrıtico (a, b)y sean d 1 =f xx (a, b)y d 2 los determinantes de la matriz hessiana evaluada en (a, b ). Entonces: |
1) Si d1 >0 y d 2 >0, se deduce que (a, b) es un mínimo local. |
2) Si d1 <0 y d 2 >0, se deduce que (a, b) es un máximo local. |
3) Si d2 <0, se deduce que (a, b) es un punto de silla. |
4) Si d2 =0, el criterio no es decisorio. |

Observamos que...