Maximos Y Minimos

FACULTAD: INGENIERIA INDUSTRIAL

ESCUELA: EAP INGENIERIA INDUSTRIAL

CURSO: MATE II

PROFESOR RESPONSABLE:
MG. NUÑEZ RAMIREZ, LUIS

TEMA: “REGLA DE LA CADENA, MÁXIMOSY MÍNIMOS”

ALUMNOS INTEGRANTES:
MARIANO IBAÑEZ, JOEL 12170031
NEGRON RIVA LENIN 12170200

REGLA DE LA CADENA PARA DOS VARIABLES INDEPENDIENTES

De lamatemática I se conoce:
Sea f: R → R una función dada por y = f (x), donde f es una función diferenciable de x, si x = g(s) donde dxds existe, entonces dyds existe y esta dada por:
dyds = df(x)s = df(x)dx.dxds
De manera similar para dos variables:
Sea f: R2 → R una función dada por z = f(x,y) , donde f es una función diferenciable de x e y si x = g(s,t) e y = h(s,t) donde ∂x∂s , ∂x∂t , ∂y∂s,∂y∂t existen todas, entonces ∂z∂s y ∂z∂t existen y están dadas por:
∂z∂s = ∂z∂x. ∂x∂s + ∂z∂y. ∂y∂s ∂z∂t = ∂z∂x.∂x∂t + ∂z∂y. ∂y∂t
Ejemplo:
Si z = x2seny
x(s,t) = s2 + t2
y(s,t) = 2st
Hallar: ∂z∂s , ∂z∂t
a) ∂z∂s = ∂z∂x. ∂x∂s + ∂z∂y. ∂y∂s
∂z∂s = (2xseny).(2s) + (x2cosy).(2t)
∂z∂s = 4sxseny + 2tx2cosy∂z∂s = 4s(s2 + t2)sen(2st) + 2t(s2 + t2)2cos(2st)

b) ∂z∂t = ∂z∂x.∂x∂t + ∂z∂y. ∂y∂t
∂z∂t = 2xseny(2t) + (x2cosy)(2s)
∂z∂t = 4txseny + 2sx2cosy
∂z∂t = 4t(s2 + t2)sen(2st) + 2s(s2 + t2)2cos(2st)

MÁXIMOS Y MÍNIMOS

1) Criterio de la primera derivada (puntos críticos o estacionarios)
En matematica I se buscaba la recta que tenga pendiente cero, ahora ya no sebuscará una recta sino muchas rectas que tengan pendiente cero, entonces en lugar de pedir que la derivada sea cero, vamos a pedir que la derivada en cualquier dirección sea cero.

Entonces
Du f(x,y) = 0
∇ f . u = 0
Pero u no es vector nulo porque tiene longitud uno, entonces :
∇ f = 0
Para dos dimensiones:
∇ f = (fx , fy) = (0,0)
* fx = 0
* fy = 0
Aquellos puntos (x,y) que hacena las derivadas parciales cero son los llamados puntos críticos, similar (en matematica I) cuando encontrabamos los x que hacian que f´(x) = 0.
Ejemplo :
Dado: f(x,y) = 2x2 + y2 + 2xy + 2x + 2y, hallar los puntos críticos.
* fx = 0
4x + 2y + 2 = 0
* fy = 0
2x + 2y + 2 =0
Entonces tenemos un sistema de ecuaciones:
4x+2y= -22x+2y= -2
Resolviendo: x = 0 , y = -1
Por lo tanto (0 ,-1) es un punto crítico.
2) Criterio de la segunda derivada
Conociendo los puntos críticos, ahora lo que se quiere es determinar si dicho punto es un extremo relativo.
Para ellos definimos la cantidad ∆, de manera que :

∆ = ∂2fa,b∂x2. ∂2fa,b∂y2 - [∂2fa,b∂xy]2, con las siguientes condiciones.

i) Si ∆ > 0 y ∂2fa,b∂x2 > 0 , entonces f(a,b) es un valor mínimo relativo.
ii)Si ∆ > 0 y ∂2fa,b∂x2 < 0 , entonces f(a,b) es un valor máximo relativo.
iii) Si ∆ < 0 , entonces (a,b ; f(a,b)) es un punto de silla
iv) Si ∆ = 0 , este criterio no da información por lo que se debe buscar otra forma de analizar el punto crítico.

Del ejemplo anterior :
* Teniamos la función: f(x,y) = 2x2 + y2 + 2xy + 2x + 2y
* Cuyo punto crítico es : (0 , -1)
*Con derivadas parciales:
fx(x,y) = 4x + 2y + 2
fy(x,y) = 2x + 2y + 2
* Luego hallamos las segundas derivadas parciales:
fxx = 4 , fyy = 2 , fxy = 2
* Ahora analizemos ∆:
∆ = (4).(2) - 22
∆ = 4
Podemos notar que ∆ queda independiente de las variables x, y pero no simpre sera así, esto debido a que se eligió un ejemplo sencillo para poder comprender el algoritmo.
Luego:
∆ > 0 ,fxx > 0 , con lo que se concluye que el punto crítico (0 , -1) es un mínimo relativo.

ANÁLISIS DE PUNTOS CRITICOS POR MEDIO DEL DETERMINANTE DE LA MATRIZ HESSIANA
a) Para el caso de dos variables:
Denotaremos la matriz hessiana con H(x,y), y el determinante de la matriz con H(x,y)= ∆2 quedando definido como:
∆2 = ∂2fa,b∂x2∂2fa,b∂y∂x∂2fa,b∂x∂y∂2fa,b∂y2

* Si ∆2 > 0,...