Mayo 12 Sol

Universidad Carlos III de Madrid
Departamento de Econom´ıa
Examen final de Matem´
aticas II. Mayo de 2012.

Apellidos:
DNI:

Nombre:
Titulaci´
on:

Grupo:

IMPORTANTE
´ DEL EXAMEN: 2h
• DURACION
• NO se permite el uso de calculadoras.
• S´
olo se entregar´
a este cuadernillo. Las respuestas deben escribirse en este cuadernillo ya que s´
olo
se puntuar´
a lo que haya en ´el. Por favor, compruebeque hay 10 p´aginas en el cuadernillo.
• NO DESGRAPE LAS HOJAS DEL EXAMEN.
• Es imprescindible identificarse ante el profesor.
• Lea las preguntas con cuidado. Cada apartado del examen vale 1 punto.
• Hay espacio adicional para operaciones al final del examen y detr´as de esta p´agina.

Problema Puntuaci´on
1
2
3
4
5
Total

(1) Considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales

 ax + y = 3
x− az = 2

y+z
= b
donde a, b ∈ R.
(a) Clasifique el sistema seg´
un los valores de a y b.
(b) Resuelva el sistema anterior para los valores de a y b para los cuales el sistema tenga infinitas
soluciones.
Soluci´
on:
(a) La matrices asociadas al sistema son (despu´es de intercambiar algunas ecuaciones )


1 0 −a
A= a 1 0 
0 1 1
y






2
2
2
1 0 −a
1 0 −a
1 0
−a
→ 0 1
b → 0 1 1
b
3− 2a  = C
a2
(A|B) =  0 1 1
2
3
3 − 2a
b − 3 + 2a
a 1 0
0 1 a
0 0 1 − a2
Estudiamos los posibles rangos de A y los comparamos con los de (A|B). Se observa claramente
que, si a = 1 y a = −1, entonces rango(A) = rango(A|B) = 3 . En estos casos, el sistema es
compatible determinado.
Si a = 1 entonces


2
1 0 −1
1 
C= 0 1 1
b−1
0 0 0
y vemos que si b = 1, entonces rango C = 2 = rango A y elsistema es compatible indeterminado
con un par´
ametro. Y si b = 1, entonces rango C = 3, rango A = 2 y el sistema es incompatible.
Finalmente, si a = −1, entonces


2
1 0 1
5 
C= 0 1 1
b−5
0 0 0
y vemos que si b = 5, entonces rango C = 2 = rango A y el sistema es compatible indeterminado
con un par´
ametro. Y si b = 5, entonces rango C = 3, rango A = 2 y el sistema es incompatible.
(b) El sistemaes compatible indeterminado cuando a = 1, b = 1 y cuando a = −1, b = 5. Para estos
valores, el sistema original es equivalente al sistema
x − az
y+z

=
=

2
3 − 2a

cuya soluci´
on es x = 2 + az, y = 3 − 2a − z, z ∈ R. Por lo tanto, para a = 1, b = 1 la soluci´on es
x = 2 + z,

y = 1 − z,

z∈R

y = 5 − z,

z∈R

Para a = −1, b = 5 la soluci´
on es
x = 2 − z,

(2) Considere el conjunto A = {(x, y) ∈R2 : y ≥ −x2 + 1, y ≤ −x2 + 4, x > 0, y ≥ 0} y la funci´
on
y
f (x, y) = x + .
2
(a) Dibuje el conjunto A, su frontera y su interior. Determine, justificando las respuestas, si el conjunto
A es cerrado, abierto, acotado, compacto y/o convexo.
(b) ¿Se verifican las hip´
otesis del Teorema de Weierstrass para el conjunto A y la funci´
on f ? Dibuje
las curvas de nivel de f indicando la direcci´
onde crecimiento. Utilice las curvas de nivel para
determinar, si existe, un valor m´
aximo y/o m´ınimo global de f en A, as´ı como los puntos donde
se alcanzan.
Soluci´
on:
(a) La represetaci´
on gr´
afica del conjunto A es la siguiente

(0,4)

y = 4 - x2

(0,1)

(1,0)
(1,0) (2,0)

y = 1 - x2

el interior y la frontera del conjunto A se pueden representar como
(0,4)

(0,1)

y = 1 - x2

(0,4)

y = 4- x2

º
A

y = 4 - x2

!A

(0,1)

y = 1 - x2

(1,0)
(1,0) (2,0)

(1,0)
(1,0) (2,0)

A no es ni abierto (ya que A no coincide su interior) ni cerrado (ya que A no contiene a su frontera).
Es acotado, ya que est´
a contenido en la bola de centro (0, 0) y radio 5. No es convexo ya que el
segmento que une los puntos (1, 0) y (1/2, 3/4) no est´a contenido en A.

(0,4)

y = 4 - x2

(0,1)

(1,0)
(1,0)(2,0)

y = 1 - x2

El conjunto no es compacto, ya que no es cerrado.
(b) No se verifican las hip´
otesis del Teorema de Weierstrass ya que A no es compacto (Es acotado pero
no cerrado). Las curvas de nivel de f son los conjuntos {(x, y) ∈ R2 : x + y/2 = c/2} = {(x, y) ∈
R2 : y = c − 2x} con c ∈ R. Gr´
aficamente, (la flecha apunta en la direcci´on de crecimiento)
(0,c)
(0,4)

y =4-

y = c - 2x...