Mecanica_Lagrangiana

MECÁNICA LAGRANGIANA y HAMILTONIANA
E.

Velasco

Universidad Autónoma de Madrid

1

Contents

I. Introducción

3

II. Cálculo variacional

3

III. Principio de Hamilton

14

IV. Coordenadas generalizadas

16

V. Principio de Hamilton general y ecuaciones de Lagrange

17

VI. Ejemplos

19

VII. Ligaduras

25

VIII. Teorema sobre la energía cinética

30

IX. Leyes de conservación y simetrías

32X. Ecuaciones de Lagrange desde la mecánica newtoniana
XI. Mecánica hamiltoniana

34
38

A. Análisis del péndulo simple acelerado mediante mecánica newtoniana
References

45
45

2

I.

INTRODUCCIÓN

La Mecánica de Lagrange o lagrangiana es una reformulación de la mecánica newtoniana, más exible y
a menudo más útil para resolver problemas. Se basa en un principio de mínimo, pero se puede obtenerde
la mecánica newtoniana, ya que ambas son equivalentes. La mecánica lagrangiana es importante porque
permite de manera natural ampliar la mecánica para incluir campos (por ejemplo, la electrodinámica,
que incluye partículas cargadas junto con campos electromagnéticos). La herramienta matemática de
la mecánica de Lagrange es el cálculo variacional, y por ello vamos a empezar con una introduccióna
esta técnica.

II.

CÁLCULO VARIACIONAL

El cálculo variacional se basa en el concepto de funcional, de la misma manera que el cálculo tradicional
se aplica sobre funciones. Una función de una variable, y = f (x), es un procedimiento para obtener un
número, y , a partir de otro, x. Un funcional es una función de funciones: z = F [f ] es un procedimiento
para obtener un número, z , a partir detoda una función f (x). A cada función le corresponde un
número. Un ejemplo de funcional es:
x2

z = F [f ] =

dx [f (x)]2 .

(1)

x1

Para cada función f (x), podemos calcular la integral denida de su cuadrado en el intervalo [x1 , x2 ],
obteniendo un número y . Normalmente, en un problema dado se restrigen las funciones posibles a
aquellas que pasan por dos puntos en el plano xy , es decir, seimponen las

condiciones de contorno

f (x1 ) = y1 , f (x2 ) = y2 .
El problema fundamental del cálculo variacional es el siguiente. Dado el funcional
x2

F [f ] =

dxg (f (x), f (x); x) ,

(2)

x1

se trata de obtener la función f (x) que hace que el funcional F adquiera un valor extremo (mínimo o
máximo); es decir, si se trata de un mínimo, por ejemplo, hay que obtener, de entre todas lasinnitas
funciones posibles

, aquella que hace que F tenga un valor mínimo. Por funciones posibles entendemos

aquellas que pasan por los puntos (x1 , y1 ) y (x2 , y2 ) del plano (Fig. 1):

f (x1 ) = y1 ,

f (x2 ) = y2 .

3

(3)

FIG. 1: Posibles curvas que unen los puntos (x1 , y1 ) y (x2 , y2 ).
En la Fig. 1 se representan varias funciones f (x) posibles; sólo una de ellas (pintada en color verde)daría un valor extremo.
Como ejemplo, consideremos el problema de calcular la curva que pasa por dos puntos 1 y 2
del plano xy con longitud mínima. Todos sabemos que tal curva es una línea recta pero, ¾sabemos
demostrarlo?. Para ello, hemos de construir un funcional que nos dé la longitud de una curva dada por
la función y = f (x). Tal funcional es:
2

F [f ] =

(4)

dl.
1

El elemento diferencial esdl =

dx2 + dy 2 = dx
x2

F [f ] =

dx

1 + (dy/dx)2 = dx

1 + [f (x)]2 ,

x1

1 + [f (x)]2 . Por tanto,


 f (x ) = y
1
1
 f (x2 ) = y2

(5)

La función f (x) que hace que este funcional sea mínimo es

f (x) = y1 +

x − x1
(y2 − y1 ),
x2 − x1

(6)

pero aún no sabemos demostrarlo.
Vamos a obtener una ecuación diferencial cuya solución nos da la solución al problema fundamental del
cálculovariacional. Primero, introducimos el símbolo δ para denotar una variación de la función f (x)
4

en todos los puntos del intervalo [x1 , x2 ], es decir, δf (x), pero respetando las condiciones de contorno
(3), de modo que δf (x1 ) = δf (x2 ) = 0. Entonces, la variación en el funcional, δF , al variar la función,

δf , es:
x2

δF = δ

x2

dxg (f (x), f (x); x) =

x2

dxδg (f (x), f (x); x) =

x1...