METAFISICA

Teorema de Cantor-Bernstein-Schröder
El teorema de Schröder y Bernstein establece un criterio para establecer si existe una función biyectiva entre dos conjuntoscualesquiera A y B:
Para cualesquiera conjuntos A y B, si existe una función inyectiva de A en B y existe una función inyectiva de B en A, entonces existe una correspondencia biunívoca entre B y A. Formalmente:


El teorema puedeparecer trivial para conjuntos finitos, pero el enunciado del teorema se cumple para conjuntos de cualquier cardinalidad. El teorema resulta útil en muchos casos para poder determinar si un conjunto tiene la misma cardinalidad que otro conjunto, ya que dos conjuntos tienen la misma cardinalidad justo cuando existe una correspondencia biunívoca entre ellos.

Aplicaciones[editar · editar código]El teorema de Cantor-Schröder-Bernstein permite definir correctamente la cardinalidad como clase de equivalencia ya que como punto de partida de la relación de orden "tener más elementos que" se toma:


Obviamente se espera que la relación binaria anterior sea antisimétrica, es decir:


Pero eso el teorema de Cantor-Shröder-Bernstein afirma precisamente que se da la implicación anterior,con lo cual la relación binaria efectivamente es antisimétrica.
Demostración[editar · editar código]
Considérese el conjunto de partes de A y defínase la siguiente aplicación hp sobre dicho conjunto:


Donde:


Primero debe probarse que la aplicación hp anterior tiene un punto fijo. Para ello se considera la colección de conjuntos:


Y se considera la unión de conjuntos de la colecciónanterior, que por la propia de definición de la colección  se tiene que:


Para probar que  falta probar la inclusión recíproca para ello se tiene que:


Y por tanto queda probado que el conjunto W es un punto fijo de la aplicación hp, para demostrar el teorema de Cantor-Schröder-Bernstein falta definir la biyección explícitamente. consideremos por ejemplo:


Puede comprobarse que laaplicación  así definida es la biyección buscada.
Teorema de Cantor
El teorema de Cantor es un resultado formalizable en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fränkel, que afirma lo siguiente:
El conjunto potencia de cualquier conjunto A tiene una cardinalidadestrictamente mayor que la cardinalidad del propio A.
Discusión[editar · editar código]
El teorema de Cantor es obvio para conjuntos finitos:si un conjunto finito tiene n elementos entonces el conjunto de partes de ese conjunto tiene 2n elementos. El hecho de que sea válido para todo conjunto infinito no es del todo intuitivo, pero permite establecer varios resultados interesantes:
Existe una infinidad de cardinales transfinitos, lo cual significa que en realidad existen muchos tipos de infinito (de hecho una infinidad) cada unomayor que el anterior. Este resultado a priori es muy poco intuitivo, pero tremendamente importante en la fundamentación de las matemáticas.
No existe ninguna manera de enumerar todos los subconjuntos de .
Para ilustrar la validez de este teorema para conjuntos infinitos se reproduce a continuación una demostración.
Demostración[editar · editar código]
Consideremos una funcióncualquiera f de A en el conjunto de partes de A, entonces demostrar el teorema de Cantor requiere probar que f no es sobreyectiva (exhaustiva). Y para probar que f no es sobreyectiva basta encontrar un subconjunto de A que no sea la imagen de ningún elemento de A a través de f. Cantor consideró un conjunto particular B definido como:


Y probó que ese subconjunto no puede ser la imagen de ningún elemento de A. Elargumento que construyó Cantor es por reducción al absurdo presuponiendo de partida que f sí es sobreyectiva, y entonces el argumento va como sigue:
1. Puesto que f es sobreyectiva, entonces existe  puesto que B es un subconjunto de A.
2. Ahora tratemos de ver si  o bien . Supongamos en primer lugar que a pertenece a B, entonces por la definición de B se tiene que a no pertenece, lo cual es...