metodo anulador

16. Coeficientes indeterminados: Método del anulador. (p. 150)
Si tenemos una ecuación diferencial no homogénea de la forma:
𝒂 𝒏 𝒚(𝒏) + 𝒂 𝒏−𝟏 𝒚(𝒏−𝟏) + . . . +𝒂 𝟏 𝒚′ + 𝒂 𝟎 𝒚 = 𝒈(𝒙)
También se puede escribir como:
𝒂 𝒏 𝑫 𝒏 𝒚 + 𝒂 𝒏−𝟏 𝑫(𝒏−𝟏) 𝒚 + . . . + 𝒂 𝟏 𝑫𝒚 + 𝒂 𝟎 𝒚 = 𝒈(𝒙) (1)
donde:

𝑘

𝐷 𝑦=

𝑑𝑘𝑦
𝑑𝑥 𝑘

, 𝑘 = 0, 1, , . . . , 𝑛.

Cuando es adecuado, la ecuación (1) también se escribecomo 𝐿(𝑦) = 𝑔(𝑥), donde 𝐿 denota el
operador diferencial o polinomial, lineal de 𝑛-ésimo orden:
𝒂 𝒏 𝑫 𝒏 + 𝒂 𝒏−𝟏 𝑫(𝒏−𝟏) + . . . + 𝒂 𝟏 𝑫 + 𝒂 𝟎 (2)
De (1) se puede factorizar 𝑦, entonces 𝐿(𝑦) = 𝑔(𝑥), queda así:
(𝒂 𝒏 𝑫 𝒏 + 𝒂 𝒏−𝟏 𝑫(𝒏−𝟏) + . . . + 𝒂 𝟏 𝑫 + 𝒂 𝟎 )𝒚 = 𝒈(𝒙)
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1

La notación de operador nosólo es una abreviatura útil, sino que en un nivel muy práctico, la
aplicación de operadores diferenciales permite justificar las reglas un poco abrumadoras para
determinar la forma de la solución particular 𝑦 𝑝 .

En este método no hay reglas especiales. La forma de 𝑦 𝑝 se deduce casi de manera automática
una vez que se encuentra un operador diferencial lineal adecuado que anula a 𝑔(𝑥) en(1).
𝒂 𝒏 𝑫 𝒏 𝒚 + 𝒂 𝒏−𝟏 𝑫(𝒏−𝟏) 𝒚 + . . . + 𝒂 𝟏 𝑫𝒚 + 𝒂 𝟎 𝒚 = 𝒈(𝒙)

Antes de analizar esto, es necesario analizar los dos siguientes conceptos: a) factorización de
operadores; b) operador anulador 𝐿(𝑓(𝑥)) = 0.
Ejemplo: 1) Escriba la ecuación diferencial en la forma 𝐿 𝑦 = 𝑔 𝑥 , donde 𝐿 es un operador
diferencial lineal con coeficientes constantes. Si es posible factorice 𝐿.
𝑦 ′′′ + 10𝑦 ′′ + 25𝑦′ = 𝑒 𝑥
⇒
Factorizar:

𝑳 𝒚 = (𝑫 𝟑 +𝟏𝟎𝑫 𝟐 + 𝟐𝟓𝑫)𝒚

⇒ 𝐿 𝑦 = 𝐷 𝐷2 + 10𝐷 + 25 𝑦 ⇒ 𝐿 𝑦 = 𝐷 𝐷 + 5
⇒ 𝐿 𝑦 = 𝐷 𝐷+5
⇒ 𝐿 𝑦 = 𝑔(𝑥)

2

𝐷+5 𝑦

𝑦

Se escribe así: ⇒

𝑫 𝑫+ 𝟓

𝟐

𝒚 = 𝒆𝒙

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2

2) Escriba la ecuación diferencial en la forma 𝐿 𝑦 = 𝑔 𝑥 , donde 𝐿 es un operador
diferencial linealcon coeficientes constantes. Si es posible factorice 𝐿.
𝑦 (4) − 8𝑦 ′′ + 16𝑦 = (𝑥 3 − 2𝑥)𝑒 4𝑥

⇒ 𝑳 𝒚 = (𝑫 𝟒 −𝟖𝑫 𝟐 + 𝟏𝟔)𝒚
Factorizar:
⇒ 𝐿 𝑦 = (𝐷2 −4)2 𝑦
⇒ 𝐿 𝑦 = (𝐷2 −4)(𝐷2 − 4)𝑦

⇒ 𝐿 𝑦 = (𝐷 − 2)(𝐷 + 2)(𝐷 − 2)(𝐷 + 2)𝑦
⇒ 𝐿 𝑦 = (𝐷 − 2)2 𝐷 + 2

Luego:

2

𝑦

𝐿 𝑦 = 𝑔(𝑥)

Se escribe así: (𝑫 − 𝟐) 𝟐 𝑫 + 𝟐

𝟐

𝒚 = (𝒙 𝟑 − 𝟐𝒙)𝒆 𝟒𝒙

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3

3) Escriba la ecuación diferencial en la forma 𝐿 𝑦 = 𝑔 𝑥 , donde 𝐿 es un operador
diferencial lineal con coeficientes constantes. Si es posible factorice 𝐿.

2𝑦 ′′ − 3𝑦 ′ − 2𝑦 = 1
⇒

𝑳 𝒚 = (𝟐𝑫 𝟐 −𝟑𝑫 − 𝟐)𝒚

Factorizar:

⇒

& 𝐿 𝑦 = 𝑔(𝑥)

𝐿 𝑦 =

=

22 𝐷 2 − 3 2 𝐷 − 4
2

=

𝟐
⇒ 𝐿 𝑦 = 2𝐷 − 3𝐷 − 2 ∗
𝟐
2

(2𝐷 − 4)(2𝐷 + 1)
2=

2(𝐷 − 2)(2𝐷 + 1)
2

𝐷 − 2 2𝐷 + 1 𝑦

Se escribe así:

𝑫− 𝟐

𝟐𝑫 + 𝟏 𝒚 = 𝟏

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4

4) Escriba la ecuación diferencial en la forma 𝐿 𝑦 = 𝑔 𝑥 , donde 𝐿 es un operador
diferencial lineal con coeficientes constantes. Si es posible factorice 𝐿.

𝑦′′′ + 4𝑦 ′ = 𝑒 𝑥 𝑐𝑜𝑠 2𝑥
⇒

𝑳 𝒚 = (𝑫 𝟑+𝟒𝑫)𝒚

Factorizar:
⇒ 𝐿 𝑦 = 𝐷(𝐷2 + 4)𝑦

⇒ 𝐿 𝑦 = 𝑔(𝑥)

Se escribe así:
𝑫 𝑫 𝟐 + 𝟒 𝒚 = 𝒆 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙

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Operador anulador:
Si 𝐿 es un operador diferencial lineal con coeficientes constantes, y 𝑓 es una función
suficientemente derivable, tal que
𝑳 𝒇 𝒙

= 𝟎

Entonces se dice que 𝐿 es un anuladorde la función.
Se trata de encontrar un operador lineal adecuado que anula a 𝑔(𝑥).
Así, por ejemplo:
Si 𝑔 𝑥 = 𝑥 2 ⇒ el operador 𝐷3 anula a 𝑥 2
Porque:
3 2

𝐷 𝑥

⇒

Primera derivada: 2𝑥
Segunda derivada: 2
Tercera derivada: 0

⇒ 𝐷3 𝑥 2 = 0 ⇒

𝐷 3 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑎𝑛𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑔(𝑥)

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