Metodo de gauss

Proyecto Did´ctico Euler: http://olmo.cnice.mecd.es/~jrol0022/euler. a

Sistemas de Ecuaciones y Matrices.

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M´todo de Gauss. e Vamos a desarrollar un m´todo para resolver sistemas de ecuaciones que e se llama m´todo matricial. No pens´is que es algo ex´tico: no es m´s e e o a que taquigraf´ y sentido com´n. Una matriz es simplemente una «caja de ıa u n´meros». As´ por ejemplo, podemoshacer la siguiente conversi´n: u ı, o x + y + z = 10 5x + 10y + 20z = 90 x − 3y = 0  1 1  5 10 1 −3 1 20 0  10 90  0

Desgraciadamente, la mayor´ m´s absoluta de los sistemas no son escaıa a lonados. Por tanto, tenemos que aprender a transformarlos. Usaremos las siguientes reglas b´sicas de resoluci´n: a o • Una fila de una matriz se puede multiplicar por cualquier n´mero. Es u decir, que sitenemos x + y = 2, entonces 2x + 2y = 4. • Se puede sumar o restar una fila a cualquier otra. En otras palabras, si x + y = 4 y 2x + 3y = 1, entonces 3x + 4y = 5, ¿no? Fijaos otra vez en la matriz del sistema escalonado. Tiene todo ceros debajo de la diagonal, ¿no es as´ Veamos c´mo podemos «fabricar» esos ı? o ceros. Partamos ahora del siguiente sistema. x+y+z=6 x + 2y − z = 2 2x − y + 3z = 9  1 11 2 2 −1 1 −1 3  6 2 9

¿Ves? No hemos hecho m´s que meter los coeficientes del sistema en una caja. a Seguramente s´lo en la tercera ecuaci´n habr´ duda de c´mo han aparecido los o o a o n´meros: «1» por x, «−3» por −3y, «0» por que no hay z. ¿Se ve? u E1. Traduce a una matriz el sistema de ecuaciones, y a un sistema en x, y y z la matriz. 2x + y = 1 x − z = −2 2x + y + z = 4  0 4  1 −1 2 3−2 4 −1  2 5 0

La idea b´sica de la soluci´n es que hay un tipo de sistemas que son espea o cialmente f´ciles. Son los sistemas «escalonados». Un ejemplo (en notaci´n a o normal y matricial): 3x + 2y + z = 11 −y + 2z = 5 −2z = −6  3 2  0 −1 0 0 1 2 −2  11 5  −6

Este sistema se resuelve de «abajo hacia arriba». La ultima ecuaci´n es la ´ o m´s sencilla: −2z = −6, por tanto z = 3. Ahorapodemos resolver la ecuaci´n a o superior: −y + 2z = 5, porque sabemos el valor de z. As´ −y + 6 = 5 y, por ı, tanto, y = 1. Por ultimo, nos vamos a la ecuaci´n superior: 3x + 2y + z = 11, ´ o de la que conocemos el valor de y y el de z: 3x + 2 + 3 = 11, por tanto x = 2. F´cil, ¿no? a ——

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Ahorasupongamos que queremos anular el «1» de la segunda fila (no nos importa qu´ pase con el resto). Podemos hacerlo restando a la segunda fila la e primera:  1 1 2 1 1 2 −1 −1 3   1 1 6 2  F −F  0 1 2 1 2 −1 9 1 −2 3  6 −4  9

Cada vez que hagamos una transformaci´n marcaremos el cambio de esa mao nera. ¡Acordaos de hacer el cambio a toda la fila! Ahora vamos a machacar el «2» de la tercera filarest´ndole el doble de la primera. a  1 1 0 1 2 −1 1 −2 3   6 1 −4  F −2F  0 3 1 0 9 1 1 −3 1 −2 1  6 −4  −3

Bien. Para que el sistema quede escalonado s´lo queda quitarnos de encima el o «−3» de la tercera fila. Podemos hacerlo sum´ndole tres veces la segunda: a  1 1 0 1 0 −3 1 −2 1   6 1 1 1 −4  F +3F  0 1 −2 3 2 0 0 −5 −3  6 −4  −15

¡Lo conseguimos! El sistema ya esescalonado. Vamos a resolverle.

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Sistemas de Ecuaciones y Matrices.

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−5z = −15 −→ z = 3 y − 2z = −6 −→ y − 6 = −4 −→ y = 2 x + y + z = 6 −→ x + 2 + 3 = 6 −→ x = 1 Ahora, glorioso final, comprobamos que se cumplen las tres ecuaciones y nos vamos a celebrarlo con unas ca˜as. Ea. n En Conclusi´n: el m´todo matricial consiste en usar una notaci´n abreo e o viada: anotar s´lo los coeficientes(recordando un poco al m´todo de Ruffini) o e y luego «hacer ceros» a base de sumar o restar filas entre s´ ı. Los ceros tienen que servir para que: (a) haya una ecuaci´n en la que s´lo o o aparezca el coeficiente de una variable (la z en nuestro caso); (b) haya otra ecuaci´n en la que s´lo aparezca la variable anterior y otra... y as´ sucesivao o ı mente. Si te das cuenta, con este sistema ¡puedes...