Metodo de potencia y jacobi

Reporte de laboratorio An´lisis num´rico II a e
Alumno: Octavio Alberto Agust´ Aquino ın Profesora: M. C. Graciela Castro Grupo: 605 Licenciatura en Matem´ticas Aplicadas a Universidad Tecnol´gica de la Mixteca o 5 de junio de 2005

´ Indice
1. Planteamiento 1.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 1.2. Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 2. Descripci´n de los m´todos o e 2.1. M´todos de la potencia . . . . . . . . e 2.1.1. M´todo de la potencia regular . e 2.1.2. M´todo de la potencia inversa . e 2.2. Iteraci´n QR . . . . . . . . . . . . . . o 2.3. Iteraci´n de Jacobi . . . . . . . . . . . o 3. Implementaci´n en MATLAB o 3.1. M´todo de la potencia regular e 3.2. M´todo de la potencia inversa e 3.3. Iteraci´nQR . . . . . . . . . o 3.4. Iteraci´n de Jacobi . . . . . . o 4. Conclusiones y observaciones 1 1 2 2 2 2 3 4 6 8 8 9 11 12 13

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1.
1.1.

Planteamiento
Introducci´n o

Existen varios m´todos para calcular los autovalores de una matriz; algunos e son generales y otros se restringen a ciertas matrices especiales, generalmente sim´tricas. En la siguiente pr´ctica se abordanalgunos m´todos n´mericos para e a e u

1

hallar los autovalores reales de una matriz real, a saber: los m´todos de la e potencia, la iteraci´n QR y el m´todo de Jacobi. Todos ellos son de car´cter o e a iterativo. Los m´todos se implementaron en MATLAB, y se reproduce su c´digo e o fuente.

1.2.

Objetivo

Conocer e implementar en MATLAB el m´todo de la potencia, la iteraci´n e o QR y elm´todo de Jacobi para el c´lculo de los autovalores reales de una matriz. e a

2.
2.1.

Descripci´n de los m´todos o e
M´todos de la potencia e

Los m´todos de la potencia son directos y sencillos de implementar, y adem´s e a pueden servir para inicializar otros m´todos m´s complejos. Tienen la desventaja e a de que s´lo calculan un autovalor. En este caso s´lo consideraremos el m´todo o oe de la potencia regular y el inverso. 2.1.1. M´todo de la potencia regular e

Consideremos una matriz A ∈ Mn×n . Denotaremos al conjunto de sus autovalores por spec(A) = {λ1 , . . . , λn }. Supongamos que el valor propio m´s grande a en valor absoluto es real y aislado (es decir, que no es valor propio doble de A). Supongamos, adem´s, que los valores propios est´n ordenados en orden crecientea a de valor absoluto, |λ1 | ≤ |λ2 | ≤ · · · < |λn |. El m´todo de la potencia se inicia con una estimaci´n inicial del vector propio e o u(0) , que puede ser cualquier vector no nulo con u = 1. La primera iteraci´n o es entonces u(1) = Au(0) y las siguientes iteraciones son u(k+1) = donde λ(0) = 1, λ(k) = Au(k) . Al continuar la iteraci´n tenemos que λk → λn y u(k) tiende a al vector o propiocorrespondiente. Ahora veamos que el m´todo de potencias converge. El e vector inicial puede escribirse en t´rminos de la base que forman los valores e propios de A,
n

1 Au(k) λk

(1)

u(0) =
i=1

ai ui .

(2)

2

Consierando las ecuaciones (1) y (2) vemos que la k-´sima estimaci´n del e o vector propio de A es u(k) = λk n a1 λ(1) · · · λ(k−1) λ1 λn
k

u1 + a2

λ2 λn

k

u2+ · · · + an un .

(3)

λi Como λn < 1 para i = 1, . . . , n − 1 entonces, cuando k → ∞, todos los sumandos de (3) salvo an un tienden al vector cero. Por el teorema del valor de normas matriciales tenemos

0 < λ(k) ≤ |λn | , por lo tanto 0< de donde 0< 1 λ(k) ≤ 1 |λn |

λk n ≤ 1. λ(1) · · · λ(k−1)

Esto indica que u(k) converge a un vector propio asociado al valor propio λn ....