metodo del anillo

Ejemplo 2.3 Volumen de un sólido de revolución
Se hace girar el segmento de recta y = 1 +

3
x

, 0 ≤ x ≤ 12 (figura 5.15a) en torno al eje x. El
sólido resultante tiene forma de megáfono(figura 5.15b). Calcular su volumen.
Solución Para todo x de ese intervalo, la sección perpendicular al eje x es un disco circular
de radio r = 1 +

3
x

. (¡Piense en esto!). El área de esa seccióncircular es
A(x) = πr2 = π 1 + 2
.
De (2.1) se sigue que el volumen de ese sólido de revolución es
V = 12
0
π 1 +

3
x

2
dx = 12
0
π 1 +

2
3
x

+

x
9
2

 dx
área dela sección = πr2
= π x+ + 12
0
= π(12 + 48 + 64) = 124π.
x3


27
x2

El ejemplo 2.3 ilustra lo que se conoce como método de los discos para calcular el
volumen de un sólido generado poruna curva que gira en torno a una recta vertical u horizontal.
A continuación presentamos el método en general.
El método de los discos
Sea f (x) una función continua en el intervalo [a, b], con f(x) ≥ 0 en todo x de [a, b]. Hagamos
girar, en torno al eje x, la región acotada por la curva y = f (x) y el eje x en a ≤ x ≤ b. Se genera
así un sólido de revolución (figuras 5.16a y 5.16b).
Sección5.2 Volumen 351
Figura 5.16b
Sólido de revolución.
V = b
a
π [f (x)]2 dx.
área de la sección = πr2


(2.2)
Como las secciones de este sólido de revolución son todas discos circulares, nosreferiremos
a este método como el método de los discos.
Ejemplo 2.4 Cálculo del volumen por el método de los discos
Calcular el volumen del sólido de revolución generado al hacer girar la curva y =x , en el
intervalo [0, 4], en torno al eje x.
Podemos calcular su volumen haciendo en él cortes perpendiculares al eje x cuyas secciones
son discos circulares de radio r = f (x) (figura 5.16b).Por (2.1), el volumen del sólido
viene dado por
Secciones
circulares
Figura 5.16a
y = f (x) ≥ 0.
Volumen de un sólido de revolución
(método de los discos)
Solución Es importante hacer un...