Metodos de demostracion

´ Algebra Superior I Primer Parcial: L´gica, M´todos de demostraci´n y Conjuntos o e o M´todos de demostraci´n e o
Ejemplos

Los m´todos de demostraci´n vistos en clase son: e o a) M´todo Directo. e b) M´todo de Contraposici´n (o Contrarrec´ e o ıproca). c) M´todo de Contradicci´n. e o d) M´todo de Disyunci´n de Casos. e o e) M´todo de inducci´n. e o A continuaci´n se encuentran algunosejemplos de demostraciones realizadas siguiendo estos o m´todos. e

a) M´todo Directo. e
1. Sea A ⊂ R tal que i) 3 ∈ A ii) x ∈ A ⇒ 3x + 1 ∈ A iii) x ∈ A ∧ y ∈ A ⇒ x + y ∈ A Demostrar que si 7 ∈ A entonces 25 ∈ A. ´ DEMOSTRACION: Por hip´tesis sabemos que 7 ∈ A. Entonces por ii), o 3(7) + 1 ∈ A, es decir, 22 ∈ A. Ahora, usando i), 3 ∈ A, y como ya vimos que 22 ∈ A, entonces usando iii) tenemos que 3 +22 ∈ A, esto es, 25 ∈ A.

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2. Si m y n son enteros impares entonces mn es impar. ´ DEMOSTRACION: Por hip´tesis, m y n son impares. Esto significa que existen ciertos enteros k y p tales o que m = 2k + 1 y n = 2p + 1. Entonces mn = (2k + 1)(2p + 1) = 4kp + 2k + 2p + 1 = 2[2kp + k + p] + 1. Esto significa que mn es impar, porque mn se puede ver como mn = 2z + 1, donde z es el entero 2kp + k +p. 3. Si a y b son n´meros racionales entonces ab es racional. u ´ DEMOSTRACION: Por hip´tesis, a y b son racionales. Esto significa que existen ciertos enteros m, n, p y o q tales que p m y b= , a= n q donde n y q son diferentes de cero. Entnces ab = m n p mp = . q nq

Esto quiere decir que ab es un racional ya que es de la forma x , donde x es el entero y mp y y es el entero nq, el cual esdiferente de cero porque n y q son diferentes de cero.

4. Sea n ∈ N. Si n es par entonces n2 es par. ´ DEMOSTRACION: Por hip´tesis, n es par. Esto significa que existe un entero k tal que o n = 2k. Entonces n2 = (2k)2 = 4k 2 = 2(2k 2 ). Esto quiere decir que n2 es par porque es de la forma n2 = 2z, donde z es el entero 2k 2 .

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5. Sea n ∈ N. Si n es impar entonces n3 es impar. ´ DEMOSTRACION:Por hip´tesis, n es impar. Esto significa que existe un entero k tal que o n = 2k + 1. Entonces n3 = (2k + 1)3 = 8k 3 + 12k 2 + 6k + 1 = 2(4k 3 + 6k 2 + 3k) + 1. Esto quiere decir que n3 es impar porque es de la forma n3 = 2z + 1, donde z es el entero 4k 3 + 6k 2 + 3k. 6. Si a y b son n´meros racionales entonces a + b es racional. u ´ DEMOSTRACION: Por hip´tesis, a y b son racionales. Estosignifica que existen ciertos enteros m, n, p y o q tales que m p a= y b= , n q donde n y q son diferentes de cero. Entonces a+b= m p mq + np + = . n q nq

Esto quiere decir que a + b es un racional ya que, es de la forma x , donde x es el entero y mq + np y y es el entero nq, el cual es diferente de cero porque n y q son diferentes de cero. 7. Sea n ∈ N. Si n es impar entonces n2 es impar. ´DEMOSTRACION: Por hip´tesis, n es impar. Esto significa que existe un entero k tal que o n = 2k + 1. Entonces n2 = (2k + 1)2 = 4k 2 + 4k + 1 = 2(2k 2 + 2k) + 1. Esto quiere decir que n2 es impar porque es de la forma n2 = 2z + 1, donde z es el entero 2k 2 + 2k.

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b) M´todo de Contraposici´n (o Contrarrec´ e o ıproca).
1. Sean x, y ∈ R. Si xy < 5 entonces x < 5 ´ y < 5. o ´ DEMOSTRACION: Procederemospor Contraposici´n, es decir, demostraremos la Contrarrec´ o ıproca: Si x ≥ 5 y y ≥ 5, entonces xy ≥ 5. Por hip´tesis tenemos que x ≥ 5, entonces multiplicando en ambos lados por y obteo nemos xy ≥ 5y porque y > 0 (pues y ≥ 5 > 0). Por otro lado, como y ≥ 5, entonces al multiplicar en amos lados por 5 obtenemos que 5y ≥ 25 porque 5 > 0. Hemos demostrado que xy ≥ 5y y que 5y ≥ 25, por lo cualconcluimos que xy ≥ 25 > 5 lo cual implica que xy > 5, por lo que es v´lido que xy ≥ 25. a Hemos demostrado la contrarrec´ ıproca. Por tanto hemos terminado la demostraci´n. o

2. Sea n ∈ Z. Si n2 es impar entonces n es impar. ´ DEMOSTRACION: Procederemos por Contraposici´n, es decir, demostraremos la Contrarrec´ o ıproca: Si n no es impar, entonces n2 no es impar. En otras palabras demostraremos...