Metodos De Integracion

El método de Integración por partes
Este método nos permitirá resolver integrales de funciones que pueden expresarse como un
Producto de una función por la derivada de otra. Más precisamente, deduciremos la fórmula
De integración por partes a partir de la regla para derivar un producto de dos funciones.
[f(x)g(x)]' = f '(x)g(x) + f(x)g'(x)
Si u y v son funciones diferenciales de x porla regla del producto se tiene:
(uv)´= uv´+ vu´
Al reordenar los términos resulta
uv´= (uv)´- vu´
Al integrar ambos lados con respecto a x, se obtiene
uv´dx= uv´dx- vu´dx
Para uv´dx debe encontrarse una función cuya derivada con respecto a x seauv´ y reemplazar v´dx por dv y u´dx por du, se obtiene la fórmula de integración por partes:

FORMULA DE INTEGRACION POR PARTES
udv=uv-vdu
Paraaplicar la fórmula de integración por partes, se debe encontrar du y v:
du = dx y v = exdx=ex+C1
Así
exdx= vdu
=x(ex+C1) -(ex+C1)dx
=xex+C1x-ex-C1x+C
= xex-ex+C
= exx-1+C

La primera constante C1no aparece en la respuesta fina. Es fácil probar que la constante involucrada al encontrar v a partir de dv siempre se separará por ello a partir de ahora esta constante no seescribirá al determinar v
Cuando se usa la fórmula de integración por partes, algunas veces la mejor selección de u y dv puede no ser obvia. En algunos casos una selección puede ser tan buena como la otra en otros solo una selección puede ser la adecuada. El discernimiento para hacer una buena selección se adquiere con la práctica y desde luego mediante prueba y error.
Ejemplo:
Encuentre lnxxdxmediante la integración por partes
u = lnx y dv = 1x dx
du = 1xdx y v= x-12dx=2x12
lnx1xdx= udv=uv-vdu
= lnx2x-2x121xdx
=2xlnx-2x-12dx
=2xln-2(2x)+c

INTEGRACION MEDIANTE FRACCIONES PARCIALES 
La Integración mediante fracciones parciales, es uno de los métodos de Integración mas fácil, en donde la forma a seguir esta dada por unos criterios. 
Definición: Se llamafunción racional a toda función del tipo

En donde  y  son polinomios con coeficientes reales, y grado
 
¿Cómo descomponer una función racional en fracciones parciales?
 Factores Lineales Distintos. 

A cada factor lineal, ax+b, del denominador de una fracción racional propia (que el denominador se puede descomponer), le corresponde una fracción de la forma, siendo A una constante a determinar. Ejemplo:
 Luego nos queda la siguiente igualdad
 o también lo podemos escribir 1 = ( A + B )x + 2A - 2B
Haciendo un Sistema.
A + B = 0
2A - 2B = 1, las soluciones son : 
Quedando de esta manera:
Con lo cual

FACTORES LINEALES IGUALES.
A cada factor lineal, ax+b,que figure n veces en el denominador de una fracción racional propia, le corresponde una suma de n fracciones de la formaEJEMPLO:
Calculemos la siguiente integral

Pero:  Tendremos

Amplificando por 

Las Soluciones son:

Nos queda:

 FACTORES CUADRÁTICOS DISTINTOS.
A cada factor cuadrático reducible,  que figure en el denominador de una fracción racional propia, le corresponde una fracción de la forma  siendo A y B constantes a determinar.
Ejemplo:
Calcular:

Con lo que se obtiene 

 de dondeluego los valores a encontrar son.
A = 0 , B = 1 , C = 1 , D = 0

FACTORES CUADRÁTICOS IGUALES
A cada factor cuadrático irreducible,  que se repita n veces en el denominador de una fracción racional propia, le corresponde una suma de n fracciones de la forma

siendo los valores de A y B constantes reales. 
Ejemplo:
Calcular la siguiente integral

Tendremos que  por tanto multiplicando aambos lados de la igualdad por el mínimo común denominador tenemos

Donde los valores de las constantes son
A = 0 , B = 2 , C = 0 , D = 1
De donde remplazando e integrando a primitivas se obtiene.

INTEGRACION POR MEDIO DE TABLAS
Ciertas formas de integrales que ocurren con frecuencia pueden encontrarse en tablas estándar de fórmulas de integración. Una integral dada puede tener que ser...