mettodo de fermat

 Método de Fermat
El objetivo del método de Fermat es, como su nombre lo indica, encontrar el máximo o el mínimo de una función f cuya variable es A. Se puede enunciar el métodode Fermat de la siguiente manera. Reemplacemos A por1 A + E en f y hagamos f(A + E) aproximadamente igual a f(A). Ordinariamente estos valores serán diferentes, pero en un máximo o unmínimo de una curva suave el cambio será casi imperceptible. Es por ello que para encontrar puntos máximos y mínimos Fermat igualaba f(A) y f(A + E), pues se dio cuenta de que losvalores, aunque no eran idénticos, eran casi iguales. Dividamos cada término por E y finalmente eliminemos todos los términos que contengan E. Mientras más pequeño es elintervalo E entre dos puntos, la pseudoigualdad tiende a volverse una verdadera ecuación; por ende Fermat, tras dividir por E, hacía E = 0. La ecuación resultante se anula para uno o varios valoresde la variable A, y estos valores corresponden a máximos y mínimos.
Apliquemos el método de Fermat al problema de dividir un número positivo en dos partes de manera que el productosea máximo. Sea N el número conocido y A la cantidad desconocida. Entonces deberemos maximizar f(A) = A(N - A) = AN - A2. Apliquemos el método. Sustituyendo A por A + E en f,tenemos

f(A + E) = (A + E) N - (A + E)2 = AN + EN - A2 - 2AE - E2,


y como f(A) = AN - A2, la pseudoigualdad es

AN - A2 = AN + EN - A2 - 2AE - E2,
de donde, simplificando,EN - 2AE - E2 = 0.


Al dividir por E la expresión, obtenemos

N - 2A - E = 0.


Finalmente, haciendo E = 0 en la igualdad, resulta

2A = N.


Es decir, f alcanza sumáximo, cuando A = N/2.
Es importante señalar que este método algorítmico es equivalente a calcular
lim
f(A + E) - f(A)

——————
E —› 0
         E

e igualarlo a cero.