Miguel

Identidades trigonométricas
En matemáticas, las identidades trigonométricas verificables para cualquier valor permisible de la variable o variables que se consideren (es decir, para cualquier valor que pudieran tomar los ángulos sobre los que se aplican las funciones).
Estas identidades, ABC son útiles siempre que se precise simplificar expresiones que incluyen funciones trigonométricas. Estoes algo muy común en casos inciertos importante es el cálculo de integrales indefinidas de funciones no-trigonométricas: se suele usar una regla de sustitución con una función trigonométrica, y se simplifica entonces la integral resultante usando identidades trigonométricas.
Notación: se define cos2α, sen2α, otros; tales que sen2α es (sen α)2.
Relaciones básicas

Relación pitagórica | |Identidad de la razón | |
De estas dos identidades, se puede extrapolar la siguiente tabla. Sin embargo, nótese que estas ecuaciones de conversión pueden devolver el signo incorrecto (+ ó −). Por ejemplo, si , la conversión propuesta en la tabla indica que , aunque es posible que . Para obtener la única respuesta correcta se necesitará saber en qué cuadrante está θ.
Funciones trigonométricas enfunción de las otras cinco. |
sen | | | | | | |
cos | | | | | | |
tan | | | | | | |
cot | | | | | | |
sec | | | | | | |
csc | | | | | | |
De las definiciones de las funciones trigonométricas:

Son más sencillas de probar en la circunferencia trigonométrica o goniométrica (que tiene radio igual a 1):

A veces es importante saber que cualquiercombinación lineal de una serie de ondas senoidales que tienen el mismo pero están desfasadas, es también una onda senoidal del mismo período pero con un desplazamiento de fase diferente. Dicho de otro modo:

Es llamada identidad trigonométrica fundamental, y efectuando sencillas operaciones permite encontrar unas 24 identidades más, muy útiles para problemas introductorios del tipo conocido elvalor de la función seno, obtenga el valor de las restantes (sin tabla ni calculadora).
Por ejemplo, si se divide ambos miembros por cos², se tiene:

Calculando la recíproca de la expresión anterior:

Entonces puede expresarse la función seno según alguna otra conocida:

y análogamente con las restantes funciones .
== Teoremas de la
Pueden demostrarse según la Fórmula de Euler o mediante laproyección de ángulos consecutivos. La identidad de la tangente surge del cociente entre coseno y seno, y las restantes de la recíproca correspondiente.

De lo que se sigue para determinados ángulos suplementarios:

Para ángulos complementarios:

Para ángulos opuestos:

[editar] Identidades del ángulo múltiple
Si Tn es el n-simo Polinomio de Chebyshev entonces

Fórmula de De Moivre:[editar] Identidades del ángulo doble, triple y medio
Pueden obtenerse remplazándolo y por x (o sea ) en las identidades anteriores, y usando Pitágoras para los dos últimos (a veces es útil expresar la identidad en términos de seno, o de coseno solamente), o bien aplicando la Fórmula de De Moivre cuando n = 2.
Fórmula del ángulo doble |
| | | |
Fórmula el ángulo triple |
| | |   |Fórmula del ángulo medio |
| | | |
[editar] Producto infinito de Euler

[editar] Identidades para la reducción de exponentes
Resuelve las identidades tercera y cuarta del ángulo doble para cos²(x) y sin²(x).
Seno | | |
Coseno | | | |
Otros | | | |
[editar] Paso de producto a suma
Puede probarse usando el teorema de la suma para expandir los segundos miembros.

[editar]Deducción de la identidad

Sabemos por el teorema de la suma y la resta que:

Si separamos la suma de la resta quedan entonces los dos posibles casos:
1):
2):
Si tomamos la ecuación 1) y despejamos cos(x)cos(y) nos queda que:
3):
Y si sumamos el miembro de la derecha de la ecuación 2) al miembro izquierdo de la ecuación 3), y para mantener la igualdad se suma el lado izquierdo de la...