modelos continuos de probabilidad

240

E stadística

y probabilidad

Ejemplo 3

En un crucero, el número de accidentes se representa por una distribución de Poisson con
promedio de tres por mes, se calcula la probabilidad de que el tiempo entre un accidente y
el siguiente sea mayor de medio mes.
Se emplea el teorema 8.3 con
λ = 3

accidentes
mes

nos interesa la probabilidad en un intervalo t = medio mes. De larelación que existe
entre los parámetros β y λ : 1/β = λ, y el modelo exponencial, se tiene
P (T > 0.5) = e −3×0.5 = e −1.5 = 0.2231

Ejercicio 2
1. Se ha hecho un estudio sobre el tiempo de espera de los usuarios en cierto banco del
D. F.; se obtuvo que el tiempo promedio de atención a un usuario entre las 9 y las
12 horas de un día normal es de 10 min, y que el tiempo de espera en seratendido
se distribuye exponencialmente, calcula la probabilidad de que si vas a dicho banco
en un día normal a las 10:20 seas atendido
a) en menos de 5 min
b) en más de 10 min
2. El periodo de vida en años de un interruptor eléctrico tiene una distribución
exponencial con promedio de falla de µ = 2 años, calcula la probabilidad de que un
interruptor falle después del segundoaño.
3. Un motor eléctrico tiene una vida media de seis años. Si la vida útil de ese tipo de
motor se considera como una variable aleatoria distribuida en forma exponencial,
¿cuál es el tiempo de garantía que debe tener el motor si se desea que a lo más 15%
de los motores falle antes de que expire su garantía.
4. Supón que la llegada de los automóviles a una caseta de cobro de unaautopista
tiene una distribución de Poisson con razón de dos autos por minuto, calcula la
probabilidad de que el revisor permanezca por lo menos 20 segundos desocupado.
5. En un almacén particular los clientes llegan al mostrador de caja conforme una
distribución de Poisson con promedio de siete por hora, calcula la probabilidad de
que entre un cliente y el siguiente pase al menos una hora.8.3 Modelo normal
¿Cómo es la distribución
de la variable alrededor de su media
en un modelo normal?

Finalmente, hemos llegado al estudio de uno de los modelos continuos con mayor
aplicación en la estadística y la probabilidad, el modelo normal. Esta distribución fue
descubierta por Carl Friedrich Gauss1 y en algunos trabajos se le conoce como Ley
1

Carl Friedrich Gauss, nació enBrunswick en 1777 y murió en Gotinga en 1855. Fue matemático, astrónomo
y físico; fue autor de una gran cantidad de trabajos de mecánica celeste, de geodesia y sobre magnetismo, electromagnetismo y óptica. Su concepción moderna de la naturaleza abstracta de las matemáticas le permitió
ampliar el campo de los números. Descubrió la geometría hiperbólica no euclidiana.

U nidad 8 • M odeloscontinuos de probabilidad

241

de probabilidad de Gauss. Según ésta, una magnitud sufre la influencia de numerosas
causas de variación, todas ellas muy pequeñas e independientes entre sí, los resultados
se acumulan alrededor de la media, distribuyéndola simétricamente a su alrededor con
una frecuencia que disminuye rápidamente al alejarse del centro. Por tanto, la curva que
asemeja dichocomportamiento tiene forma de campana y es la representación gráfica de
una distribución de esta clase (ver figuras 8.4, 8.5 y 8.6).
Definición 8.3

Dada X una variable aleatoria continua, se dice que X tiene una distribución normal o de Gauss
cuando su función de densidad de probabilidad es
−
1
f ( x) =
e
σ 2π

( x − µ )2
2σ 2 en x

∈ (–∞, ∞)

con parámetros µ y σ en todos los númerosreales.

Los modelos con distribución normal se caracterizan por la forma de la gráfica de
su función de densidad.
La gráfica de la distribución normal tiene forma de campana, como muestra la
figura 8.4.
f (x)

Figura 8.4
Gráfica de la fdp, de una vac X con
distribución normal, media µ y varianza σ.

1.1

E (X) = 

0.9
0.7
0.5

Segmento de longitud σ

0.3

V(X) =  2...