Modelos probabil

I
Probabilidades y Estadística – EST - 205

Modelos para Variables Aleatorias Discretas

Modelo Bernoulli:

Se utiliza cuando la variable aleatoria asume sólo dos estados: Éxito o Fracaso, 1 ó 0, Si o No, Aprobado o Reprobado, A favor o En Contra, etc. Suponga que X es la variable aleatoria Bernoulli, que ℜ X = {0,1} y que

P( X = 0) = 1 − p P( X = 1) = p
; 0 ≤ p ≤1

Entonces, lafunción de cuantía se puede anotar como:

p X ( x ) = P ( X = x ) = p x ⋅ (1 − p )

1− x

, x = 0,1

( X ~ Ber ( p ) )

Además:

E[X ] =

x∈ℜ X

∑ x ⋅ p (x ) = ∑ x ⋅ p (x ) = 0 ⋅ (1 − p ) + 1 ⋅ p = p. −
X x =0 X

1

V [X ] =

x∈ℜ X

∑

x 2 ⋅ p X ( x ) − (E [X ]) = ∑ x 2 ⋅ p X ( x ) − ( p ) = 0 2 ⋅ (1 − p ) + 12 ⋅ p − p 2 = p(1 − p ). −
2 2 x =0

1

Profesor PatricioVidela Jiménez

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Modelo Binomial:

Surge de la realización de n ensayos de Bernoulli independientes. Situación: • • • El experimento se repite n veces bajo las mismas condiciones. Cada repetición del experimento tiene dos resultados: Éxito o Fracaso, 1 ó 0, etc. La probabilidad de éxito es constante de ensayo en ensayo:

P Éxito = p

(

)P(Fracaso) = 1 − p
• Los ensayos son independientes

Sea la variable aleatoria X : “número de éxitos en los n ensayos”, ℜ X = {0,1,2, K , n} Entonces, la función de cuantía se puede anotar como:

 n n− x p X ( x ) = P( X = x ) =   ⋅ p x ⋅ (1 − p ) , x = 0,1,2, K , n  x  

( X ~ Bin(n, p ) )

Nota: Bin(1, p ) ≡ Ber ( p )

Además es posible mostrar que:

E [X ] =

x∈ℜ X

n ∑ x⋅ p (x ) = ∑ x ⋅  x  ⋅ p ⋅ (1 − p )  
n x X x =0

n− x

 

= np. −

V [X ] =

x∈ℜ X

∑

n n 2 n− x 2 x 2 ⋅ p X ( x ) − (E [X ]) = ∑ x 2 ⋅   ⋅ p x ⋅ (1 − p ) − (np ) = np (1 − p ). −  x x =0  

Profesor Patricio Videla Jiménez

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Ejemplo: Se estima que el porcentaje de ampolletas defectuosas de la producción de una fábrica esdel 5%. Si por condiciones contractuales se ha acordado que la partida se rechaza si el número de ampolletas defectuosas es mayor de 3 en una muestra de 25 ampolletas.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que se rechace la partida? b) ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentren más de 4 ampolletas defectuosas? c) ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentren menos de 3 ampolletas defectuosas?Solución:

X : número de ampolletas defectuosas entre las 25.
Sup. que X ~ Bin ( 25;0.05)

a) b) c)

P ( X > 3) = 1 − P ( X ≤ 3) = 1 − 0.9659 = 0.0341. − P ( X > 4 ) = 1 − P ( X ≤ 4 ) = 1 − 0.9928 = 0.0072. − P ( X < 3) = P ( X ≤ 2 ) = 0.8729. −

Modelo Poisson:

Sea X una variable aleatoria que representa el número de eventos aleatorios independientes que ocurren a una rapidez constantesobre el tiempo o el espacio. Se dice entonces que la variable aleatoria X tiene una distribución de Poisson con función de cuantía dada por:

e p X ( x ) = P( X = x ) =

−λ

⋅ λx ; x = 0,1,2,K; λ > 0 x!

( X ~ P(λ ) )

El parámetro de de la distribución de Poisson es λ , el número promedio de ocurrencias del evento aleatorio por unidad de tiempo. Además es posible mostrar que:

E [X] = V [X ] = λ . −

Profesor Patricio Videla Jiménez

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Ejemplo: Para estudiar la efectividad de un insecticida (sobre un particular tipo de insecto), una gran área fue cubierta con el insecticida. Luego de un tiempo se inspeccionó el área, y se escogieron regiones cuadradas previamente trazadas en un mapa aéreo, contándose en ellas la cantidad deinsectos vivos por cuadrado. Experiencias previas, han mostrado que la cantidad promedio de insectos vivos por cuadrado, después de aplicar el insecticida es 0,5.

a) ¿Cuál es la probabilidad que un cuadrado seleccionado al azar, contenga exactamente un insecto vivo? b) ¿Qué proporción de cuadrados tiene más de dos insectos vivos? c) Se eligen 15 cuadrados al azar ¿Cuál es la probabilidad que a...