Modelos probabilisticos

Tema III.- “Modelos probabilísticos comunes” III.1.- Modelos probabilísticos para variables aleatorias discretas: Funciones de distribución binomial, binomial negativa, geométrica, de poisson y sus características principales. Modelos probabilísticos para variables aleatorias discretas.
Distribución binomial.
Se sabe que una variable aleatoria discreta es aquella que puede asumir un númerofinito de valores. La distribución binomial es un modelo probabilístico que solo puede asumir dos valores, a los cuales se les llamará éxito o fracaso. Sea: p la probabilidad de que la variable aleatoria asuma el valor éxito y q la probabilidad de que la variable aleatoria asuma el valor fracaso.

Debe cumplirse que p + q = 1 Ejemplo: El 12 porciento de las hojas que imprime una máquina sondefectuosas. A) sí se selecciona al azar una hoja impresa por ésta máquina. ¿ cuanto vale p y q, sí defectuosa se entiende por fracaso?.

q = 0.12

y

p = 1 - 0.12 = 0.88

b) Sí se seleccionan dos hojas al azar, regresando la primera antes de extraer la segunda, ¿ cuanto vale la probabilidad de que las dos no sean defectuosas?. Debido a que la probabilidad de elegir una segunda hoja no se veafectada por la elección de la primer hoja, se trata de eventos independientes La probabilidad de obtener dos fracasos es

P( fracaso ∩ fracaso ) = qq = 0.12 * 0.12 = 0.0144
Y la probabilidad de obtener dos éxitos, es decir, elegir dos hojas no defectuosas esta dada por

P(éxito ∩ éxito) = pp = 0.88 * 0.88 = 0.7744
c) ¿Cual es la probabilidad de que la primera no sea defectuosa y la segunda sí?P(éxito ∩ fracaso) = pq = 0.12 * 0.88 = 0.1056
d) ¿Cual es la probabilidad de que la primera sea defectuosa y la segunda no?

P( fracaso ∩ éxito) = qp = 0.88 * 0.12 = 0.156
e) ¿Cual es la probabilidad de obtener una hoja defectuosa y otra perfecta? (no importa el orden)

P(( fracaso ∩ éxito) ∪ (éxito ∩ fracaso)) = qp + pq = 0.12 * 0.88 + 0.88 * 0.12 = 0.2112

Puesto que los eventos sonmutuamente exclusivos. f) Sí Y es la variable aleatoria “número de piezas no defectuosas observadas al extraer dos piezas, regresando la primera antes de extraer la segunda” ¿ cual es la distribución de probabilidades correspondientes? Y={0, 1, 2} i 1 2 3 Y 0 1 2 P(y) qq =0.12*0.12=0.0144 pq + qp=0.88*0.12 + 0.12*0.88=0.1056 + 0.1056= 0.2112 pp = 0.88*0.88=0.7744

∑ P( y) = 1
De acuerdo alresultado anterior, se ve que no importa el orden de aparición de los éxitos, entonces estamos hablando de combinaciones, es decir, del número de maneras en que pueden ocurrir “r” éxitos al repetir dos veces el experimento. Resolviendo el inciso f con este método
2

Cr

donde r = 0, 1 y 2

Para r=0

2

C0 =

2! =1 0! 2!

Para r=1

2

C1 =

2! =2 1! 1!

Para r=2

2

C2 =2! =1 2! 0!

considerando lo anterior, tenemos: P(Y=0)=(1)(qq)=0.0144 P(Y=1)=(2)(pq)=0.2112 P(Y=2)=(1)(pp)=0.7744 Siendo los resultados iguales a los obtenidos con anterioridad.

Considerando que se extraen tres hojas impresas de un lote donde el 12% es defectuoso. Sí Y es la variable “número de hojas no defectuosas observadas al sacar tres al azar, regresando cada una de ellas antes deextraer la siguiente”. ¿Cual es la distribución de probabilidades? Y={0, 1, 2, 3 } Aplicando el procedimiento antes indicado ( número de combinaciones )

P(Y = 0) = 3 C 0 qqq = 3 C 0 p 0 q 3 = P(Y = 1) = 3 C1 pqq = 3 C1 p 1 q 2 =

3! (0.88) 0 (0.12) 3 = 0.0017 0! 3!

3! (0.88)(0.12) 2 = 0.038 1! 2! 3! (0.88) 2 (0.12)1 = 0.2788 2! 1! 3! (0.88) 3 (0.12) 0 = 0.6815 3! 0!

P(Y = 2) = 3 C 2 ppq = 3 C2 p 2 q 1 = P(Y = 3) = 3 C 3 ppp = 3 C 3 p 3 q 0 =

Generalizando para n hojas extraídas tendremos que

P(Y = r ) = n C r p r q n − r
Tal generalización es conocida como Distribución Concluyendo:

; r = 1, 2, 3, ....., n

Binomial

Mediante la distribución de probabilidad binomial se obtiene la probabilidad de que al repetir “n” veces un experimento cuya variable aleatoria sólo puede...