Modulo 1

FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA

UCA

ALGEBRA Y GEOMETRIA
Primer Cuatrimestre 2014

Teor´ıa del Trabajo Pr´actico 4
M´odulo 1
Mar´ıa del Carmen Calvo

Contenido
El plano complejo: C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Propiedades del producto de complejos . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Una cuesti´on de notaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Partes real e imaginaria – Conjugado – M´odulo – Argumento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

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1

C: el plano complejo
La diferencia entre el plano real y el complejo no est´a en sus elementos sino en las cosas que
estamos habilitados para hacer con ellos. Es por eso que, aunque no suene razonable, vamosa
llamar
C = {(x, y) | x ∈ R e y ∈ R}
Es decir, el conjunto C tiene exactamente los mismos elementos que el conjunto R2 .
¿Por qu´e le ponemos otro nombre entonces?
Cuando uno habla de R2 se refiere al conjunto de todos los pares ordenados donde las dos
componentes son n´umeros reales. En e´ l hay definidas dos operaciones:
(i) suma
(ii) producto por escalar
que tienen las propiedades que vimos enla primera pr´actica. Pero no sabemos, por ejemplo,
multiplicar sus elementos entre s´ı, solo podemos multiplicarlos por un n´umero real.
Resulta que se puede definir una nueva operaci´on entre estos elementos —que llamaremos simplemente producto— que har´a que las operaciones entre n´umeros complejos obedezcan las mismas leyes (conmutativa, asociativa, distributiva) que rigen las operacionesentre n´umeros reales.
As´ı, al mismo conjunto, pero dotado ahora de las operaciones
(i) suma: la misma de R2

y

(ii) producto: definido as´ı,
(a, b) ∗ (c, d) = (ac − bd, ad + bc)
lo llamamos plano complejo y lo denotamos por C.
A sus elementos dejamos de llamarlos puntos o vectores como hac´ıamos en R2 y nos referimos
a ellos como n´umeros.

Propiedades del producto
1. (a, b) ∗ (c, d) = (c, d) ∗(a, b)
2. (a, b) ∗ [(c, d) ∗ (h, k)] = [(a, b) ∗ (c, d)] ∗ (h, k)
3. (a, b) ∗ [(c, d) + (h, k)] = (a, b) ∗ (c, d) + (a, b) ∗ (h, k)

(conmutatividad)
(asociatividad)
(distributividad)

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Teor´ıa de la Pr´actica 4: El plano complejo C

4. Elemento neutro: (1, 0)
(a, b) ∗ (1, 0) = (a1 − b0, a0 + b1) = (a, b)
cualquiera sea (a, b) ∈ C
5. Inverso del producto: para cada (a, b)

(0, 0) existe un (c, d)∈ C tal que

(a, b) ∗ (c, d) = (1, 0)
6. Dos subconjuntos importantes: los ejes coordenados X e Y
Para facilitar la escritura le ponemos, moment´aneamente, estos nombres a los ejes
X = {(x, 0) | x ∈ R}
Y = {(0, y) | y ∈ R}
y analizamos qu´e sucede con sus elementos cuando los sumamos y cuando los multiplicamos.
⋆

X

Dados (a, 0), (c, 0) ∈ X ,
• (a, 0) + (c, 0) = (a + c, 0) ∈ X
• (a, 0) ∗ (c, 0)= (ac − 0.0, a0 + c0) = (ac, 0) ∈ X
Notemos que cuando sumamos y multiplicamos n´umeros complejos que est´an sobre el eje
x en el fondo simplemente sumamos y multiplicamos las primeras componentes, que son
n´umeros reales, y lo hacemos usando las operaciones de R.
Esto sugiere identificar 1 el conjunto R, de los n´umeros reales, con X , el eje x.
Utilizaremos entonces, indistintamente, lasnotaciones
3

y

(3, 0)

para referirnos al n´umero real 3. Desde luego, lo mismo se aplica a cualquier otro n´umero
real.
Teniendo en cuenta la identificaci´on entre X y R y que X ⊂ C es que decimos que los
n´umeros reales son parte de los n´umeros complejos; en s´ımbolos,
R⊂C
claramente esto no significa decir que R y X son iguales; pero, dado que las operaciones son esencialmente
las mismas, decimos...