Modulo 3

FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA

UCA

ALGEBRA Y GEOMETRIA
Primer Cuatrimestre 2014

Teor´ıa del Trabajo Pr´actico 4
M´odulo 3
Mar´ıa del Carmen Calvo

Contenido
Conjunto totalmente ordenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Ra´ıces de n´umeros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
La exponencial compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

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1

Conjuntos totalmente ordenados
Ra´ıces — Exponencial

Conjunto totalmente ordenado
Decimos que unconjunto es totalmente ordenado cuando dados dos cualesquiera de sus elementos podemos decir, en caso de no ser iguales, cu´al de los dos es mayor.
Sabemos que R tiene esa propiedad. Pero adem´as el orden de R es compatible con sus operaciones. En el siguiente sentido:
⋆ para todo a, b, c ∈ R, si a < b entonces a + c < b + c (decimos que el orden respeta la suma)
⋆ para todo a, b ∈ R y c > 0, sia < b entonces ac < bc (decimos que el orden respeta el
producto por n´umeros positivos)
⋆ de las dos propiedades anteriores se deduce que “para todo a, b ∈ R y d < 0, si a < b
entonces ad > bd”
Analicemos si es posible construir un orden as´ı en C.
Si fuera posible, siendo que R ⊂ C, tendr´ıamos que pedir adem´as que este orden de C no
desordene al que ya tenemos en R. Concretamente, deber´ıamospedirle a este orden que
❋ sea un orden total
❋ respete la suma
❋ respete el producto por los n´umeros complejos que “resultaren ser positivos”
❋ cuando los complejos que comparemos sean en realidad reales, el orden debe ser el conocido
en R.
En particular, debe seguir siendo v´alido que
1>0

−1<0

y

Admitiendo de momento que tal vez exista un orden as´ı averg¨uemos cu´al de estos dos n´umeros
0e

i

resultar´ıa ser el mayor, dado que seguro no son iguales. Quedan dos posibilidades
i>0

i<0

i.i > 0.i
i2 > 0
−1 > 0
absurdo

i(−i) < 0(−i)
−i2 < 0
1<0
absurdo

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Teor´ıa de la Pr´actica 4: ra´ıces - exponencial compleja

En consecuencia,

no es posible construir un orden total en C con las
caracter´ısticas que necesitamos.

Consejo
Antes de usar los s´ımbolos “<” o “>”, si est´a tratandocon complejos,
asegur´ese de que esos complejos sean en verdad reales.
No tiene sentido que aparezca uno de esos s´ımbolos si alguno de esos
n´umeros es complejo no real.
Usar orden entre n´umeros complejos que no son reales o que no se sabe si
lo son es un error conceptual muy grave.

Ra´ıces de n´umeros complejos
En los n´umeros reales cualquier n´umero –positivo o negativo– admite ra´ız de´ındice impar. Si
el ´ındice es par, solo podemos calcularla para n´umeros no negativos.
√
´
´
En tal caso, si x 0, x representa el unico
numero
positivo que elevado al cuadrado da x.
Esto nos permite decir que la asignaci´on
x −→

√

x

es una funci´on porque hay u´ nico un n´umero positivo que cumple eso y por lo tanto no hay ambig¨uedad.
En el caso de los n´umeros complejos — dado que C no admiteese tipo de orden — no vamos
a poder distinguir entre todos los valores que cumplen esa condici´on. Por lo tanto no podremos
hablar de funci´on. Pero s´ı podemos calcular los valores, por ejemplo, cuyo cuadrado es un
complejo dado.
En este tema tambi´en resultar´a muy u´ til la forma trigonom´etrica de los complejos y el algoritmo
de divisi´on de enteros.
Lo haremos con una serie de ejemplos que vana ir incrementando su complejidad.

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Control
1. Se sabe que
a) w3 = 27, ¿sobre qu´e curva se encuentra w?
b) (z − 2 + 3i)3 = 27, ¿sobre qu´e curva se encuentra z?
Pista: z − 2 + 3i = z − (2 − 3i).
Haga un esquema gr´afico en cada caso.
2. Se sabe que
5π
+ 2kπ , k ∈ Z, ¿sobre qu´e curvas...