Modulo1

Modulo 1
Algunos conceptos básicos
Intervalo:
Un intervalo real es el conjunto de todos los números reales comprendidos entre dos números
reales a y b. Se notará [a,b] intervalo cerrado, para indicar que los números a y b pertenecen al conjunto
y se notará (a,b) intervalo abierto, para indicar que los números a y b no pertenecen al conjunto.
Ejemplo: (2, 3)

-1

0

1

2

3

Valor Absoluto de unnúmero real:

Sea x un número real, el valor absoluto de x, se nota x y se define como
x

si x ≥ 0

-x

si x ≤ 0

x=

Regiones del plano:
Una región del plano es el conjunto de todos los puntos o pares ordenados (x,y) tales que x e y
satisfacen condiciones dadas.
Ejemplo: { (x,y) / x > 2 , y ≥ -3}
y

x
1 2

-3

Actividades:
1) Escribir los siguientes conjuntos de números en términos deintervalos:
a) {x/ -5 < x ≤ 7}
b) {x/ 2 ≤ x ≤ 4 }
c) {x/ 2 ≤ x }
d) {x/ x2 ≥ 0 }
e) {x/ x2 ≥ 2 }
2) Resolver y representar el conjunto solución:
a) x= 4
b) x + 1=2
c) 5 - 2x= 10
d) x> 3
e) x≤ 4
f) 4x=4x +1
2 x + 3
g)
<1
2 − x
3) Graficar las siguientes regiones del plano:
a) {(x,y)/ x > 0 , y ≤ 2}
b) { (x,y)/ x≤ 4 , y≥ 1}
c) { (x,y)/ x +1≤ 3 , y-2≥ 1}

Simetrías:
Simetría de dospuntos:
• Se dice que dos puntos P y P’ son simétricos con respecto a un tercer punto Q si y sólo si el tercer
punto Q es el punto medio del segmento PP’.
• Se dice que dos puntos P y P’ son simétricos con respecto a una recta L si y sólo si la recta es la
mediatriz del segmento PP’.

Simetría de una gráfica respecto a un punto:
La gráfica de una ecuación es simétrica con respecto a un punto Q siy sólo si, para cada punto
P perteneciente a la gráfica de la ecuación existe un punto P’ que también pertenece a la gráfica tal que
P y P’ son puntos simétricos con respecto a Q.
• En particular si el punto Q es el origen de coordenadas, la gráfica será simétrica si para cada
punto (x, y) de la gráfica el punto (-x, -y) también pertenece as la gráfica.
Simetría de una gráfica respecto a unarecta:
La gráfica de una ecuación es simétrica con respecto a una recta L si y sólo si, para cada punto
P perteneciente a la gráfica de la ecuación existe un punto P’ que también pertenece a la gráfica tal que
P y P’ son puntos simétricos con respecto a la recta L.
• En particular si la recta es el eje x la gráfica será simétrica si para cada punto (x,y) de la
gráfica, el punto (x, -y) tambiénpertenece a la gráfica.
• Si la recta es el eje y la gráfica será simétrica si para cada punto (x, y) de la gráfica el punto
(-x, y) también pertenece as la gráfica.

Actividades:
4) Analizar si los puntos P y P’ son simétricos con respecto a Q:
a) P(2,1)
P’(8,5)
Q(5,3)
b) P(3,4)
P’(-2, 2)
Q (1,3)
5) Analizar si los puntos P y P’ son simétricos con respecto a la recta y= x-3
a) P(-1,1)
P’(4,-4)
b)P(3,1)
P’(3,-1)
6) Decir cuáles de las siguientes ecuaciones representan gráficas simétricas respecto del eje x , del eje
y, al origen de coordenadas o no lo son.
a) y = x2 -2
b) y2 = x3 – 4 x
c) y = x3 + x
d) x y2 =-10
e) (x + 1)2 – (y - 2)2 = 1
f) x2 - y 2 =1
Traslaciones:
Muchas veces se presentan gráficas de distintas ecuaciones, en las que una de ellas no es más
que una traslación de la otra ensentido vertical (hacia arriba o hacia abajo), o en sentido horizontal
(hacia la derecha o hacia la izquierda).

Ejemplo 1:
y = x2

y = x2 + 3

La gráfica de y = x2 + 3 no es más que la gráfica de y= x2 trasladada 3 unidades hacia arriba.

Si ubicáramos un nuevo sistema de ejes coordenados (x’,y’) con origen en el punto (0,3) , la
gráfica respondería a la ecuación y’=x’2 . Recordemos que los ejes sonun sistema de referencia, por lo
tanto el punto (0,3 ) del sistema original correspondería al (0,0) del nuevo sistema, así podríamos
identificar x’ = x e y’ = y – 3. De este modo el (0,0) del sistema original es el (0, -3) del nuevo sistema.
Así, aplicando la traslación, la ecuación y’=x ’ 2 corresponde a y-3 = x 2

Ejemplo 2:

y=x3

y=(x+1)3

La gráfica de y = (x+1)3 no es más que la gráfica...