Modulo3

Modulo 3
La derivada
1. Variación promedio
Sea f una función numérica cualquiera, definida en un intervalo abierto (a,b) que contiene al
punto x0 . Consideremos un pequeño incremento h, h ≠ 0, de la variable independiente, de manera
que x = x0 + h, x ∈ (a, b) .
La variación o incremento de f entre x0 y x , se define como
∆f = f ( x) − f ( x0 ) = f ( x0 + h) − f ( x0 )
La variación o incremento dex entre x0 y x= x0 + h , se define como
∆x = x − x0 = h
La variación promedio de f entre x0 y x , se mide con el llamado cociente incremental o
Cociente de Newton de f en x0 :
f ( x) − f ( x0 ) f ( x0 + h) − f ( x0 )
∆f
=
=
∆x
x − x0
h

Geométricamente la variación promedio de f entre x0 y x= x0 + h representa la pendiente
de la recta secante a la gráfica de f que pasa por los puntos ( x0 , f( x0)) y ( x0 +h ,f( x0 + h))
y

f( x0 + h)

f( x0 )
x0

x0 + h

x

Cuando h decrece infinitamente la variación promedio tiende a la variación instantánea de f
en el punto x0 .

Derivada de f en x0 : se define la derivada de f en x0 y se escribe f´( x0 ) a
f ( x0 + h) − f ( x0 )
f ´( x0 ) = lim
h →0
h
Siempre que el límite exista y en tal caso se dice que f es derivable en x0
Geométricamente a medidaque h decrece, la recta secante a la gráfica de f que pasa por los
puntos ( x0 ,f( x0 )) y ( x0 + h, f( x0 + h)) se va acercando a la recta tangente a la gráfica en el punto

( x0 ,f( x0 )). Así, la variación instantánea de f en x0 representa la pendiente de la recta tangente a la
gráfica de f en el punto ( x0 ,f( x0 )):

y

y

x0

x

x0

x

Ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en x=x0 :
Dada una función y=f(x), la ecuación de la recta tangente a su gráfica en el punto de abscisa
x0 se puede obtener fácilmente. La ecuación de una recta que pasa por el punto ( x0 , y0 ) y tiene
pendiente m es dada por:

y = m( x − x0 ) + y0

Luego, la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x0 será aquella para la cual
y0 = f ( x0 ) , m=f´( x0 )

La función derivada:
En lugarde elegir un valor numérico x0 para la variable independiente, podemos trabajar
con un valor arbitrario x, definiendo así la función derivada, ya que depende del valor de x, queda
definida la función derivada como:
f ´( x) = lim
h →0

f ( x + h) − f ( x )
, siempre que el límite exista, y en ese caso se dice que f es derivable en
h

x.

La función f se dice derivable si tiene derivada en todos lospuntos donde está definida

La derivada de f se escribe f ´( x) =

df df ( x)
=
= Dx f
dx
dx

Ejemplo 1:
Sea f(x)=2x+1, hallar f´(x)
Calculamos el cociente Newton para un x cualquiera, haciendo

f ( x + h) − f ( x )
=
h

2( x + h) + 1 − (2 x + 1) 2 x + 2h + 1 − 2 x − 1
=
=
h
h
2h
=2
h
f ( x + h) − f ( x)
Luego, f ´( x) = lim
= lim 2 = 2
h→0
h →0
h

Ejemplo 2:
Sea f(x)= 2x 2 , hallar f´(x)Calculamos el cociente Newton para un x cualquiera, haciendo
f ( x + h) − f ( x )
=
h
2( x + h) 2 − 2 x 2 2 x 2 + 4 xh + 2h 2 − 2 x 2
=
=
h
h
4 xh + 2h 2
= 4 x + 2h
h
f ( x + h) − f ( x)
Luego, f ´( x) = lim
= lim 4 x + 2h = 4 x
h→0
h →0
h

Ejemplo 3:
Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f ( x) = 2 x 2 en el punto de abscisa x=3.
Hemos calculado en el ejemplo 2 la función derivada osimplemente la derivada de f ( x) = 2 x 2 ,
luego la pendiente de la recta tangente en x=3 será la derivada en x=3:
f ´( x) = 4 x ⇒

f ´(3) = 12 =m

Por lo tanto reemplazando en y = m( x − x0 ) + y0
Tenemos y = 12( x − 3) + f (3)
y = 12( x − 3) + 18 ⇒

y como f ( 3)=18

y = 12 x − 18 es la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en x=3.

Actividades:
1) Calcular la variación promedio de fentre x0 y x0 + h de las siguientes funciones:
a) f ( x) = k

b) f ( x) = x

c) f ( x) = x 2

d ) f ( x) = x3

e) f ( x) = x

2) Sea f ( x) = x 2 , encuentre la ecuación de la recta secante a la gráfica de f en los puntos (1,1) y
(1+h , f(1+h)) para los siguientes valores de h:

h=2; h=1; h=-1; h=-2.

Grafique y comente lo que observa.

3) Calcule la variación instantánea de f en x0 de las...