Modulo2

Matemática II

2007

Modulo 2
Límites y continuidad
En esta sección desarrollaremos el concepto de límite, una de las nociones fundamentales del
cálculo. A partir de este concepto se desarrollan también los conceptos de continuidad, derivabilidad e
integración que se verán más adelante. Comenzaremos con una idea intuitiva del estudio del
comportamiento de una función alrededor de un punto ocuando los valores de x crecen
indefinidamente.

1-Comportamiento de una función alrededor de un punto:
Si la función f está definida para valores de la variable x cercanos a x0., queremos estudiar el
comportamiento de los valores de f(x) cuando x se aproxima a x0.
Definición
Si f está definida en un intervalo abierto alrededor del punto x0 , aunque no lo esté en x0 ,
diremos que f(x) tiene límite L,cuando x tiende a x0, si el valor de f(x) se hace arbitrariamente próximo
al valor de L cuando x se aproxima a x0, y lo escribiremos así :

lim f ( x) = L

x → x0

Ejemplos:
1) Dada f ( x) =

x2 − 1
queremos saber cómo se comporta f(x) en un entorno del punto x=1:
x −1

La función se define en todos los números reales excepto en x=1. Podemos simplificar la fórmula,
factorizando el numerador, paravalores distintos de 1.
f ( x) =

( x − 1)( x + 1)
= x + 1,
x −1

para

x ≠1

La gráfica de f(x) es la recta y=x+1 menos un punto, el (1,2)
En la gráfica aparece un “agujero” en este punto. Podemos de todos modos hacer el valor de f(x) tan
cercano a 2 como queramos, eligiendo x suficientemente cercano a 1.

1

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y

2 -

x
1

Decimos que f(x) está arbitrariamente cercano a 2cuando x se aproxima a 1, o
simplemente f(x) se aproxima a 2 cuando x se acerca a 1 , y escribimos:
lim f ( x ) = 2
x→1

Notar que para el valor x= x0 la función puede no estar definida o puede no tomar el valor L. En este
caso f no está definida en x=1, sin embargo el límite cuando x se acerca a 1 es 2, ya que el valor del
límite es el valor de la función para valores próximos a 1 y no necesariamenteen 1.

2) Sea

x
f(x)

x<1

=
1 x≥1

Esta es una función definida a trozos.
y

1

1

x

Acá notamos que tenemos que analizar separadamente el valor de la función cuando x se
aproxima a 1 por valores mayores a él, y cuando x se aproxima a 1 por valores menores a él.

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Sin embargo vemos que en ambos casos el valor de la función se acerca a 1 , por lo tanto
decimos que :
limf ( x ) = 1
x →1

3) Sea

x
f(x)

x<1

=
x-1 x≥1

Esta es una función definida a trozos, su gráfica presenta un “salto” en x=1.

Vemos que f(x) puede aproximarse tanto como queramos al valor 0 cuando x se aproxima a 1
por valores mayores a 1, pero cuando x se aproxima a 1 por valores menores que 1 la función se acerca
a 1, luego no es cierto que cuando x se acerca a 1, los valores de f(x) seacercan a un número L y por
lo tanto, este es un ejemplo donde diremos que no existe lím f ( x ) .
x→1

Sin embargo, como dijimos, f(x) puede aproximarse tanto como queramos al valor 0 cuando x
se aproxima a 1 por valores mayores a 1, de modo que diremos que “el límite de f(x), cuando x tiende
a 1 por la derecha es 0”, lo que escribiremos lím f ( x) = 0 y análogamente, “el límite de f(x), cuando
+
x→1

x tiende a 1 por la izquierda es 1”, lo que escribiremos lím f ( x ) = 1 . A estos límites los llamaremos
−
x →1

límites laterales.

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Definición
1. Si f está definida a la izquierda de x0 , aunque no lo esté en x0 , diremos que el límite de f(x),
cuando x tiende a x0 por la izquierda es L, si f(x) se hace arbitrariamente próximo al valor de L
cuando x se aproxima a x0 porla izquierda, y lo escribiremos así :
lím f ( x) = L
x → x0 −

2. Si f está definida a la derecha de x0 , aunque no lo esté en x0 , diremos que el límite de f(x), cuando
x tiende a x0 por la derecha es L, si f(x) se hace arbitrariamente próximo al valor de L cuando x se
aproxima a x0 por la izquierda, y lo escribiremos así :
lím+ f ( x) = L
x → x0

Observaciones:

La expresión lim f ( x) = L...