momento polar de inercia

MOMENTO POLAR DE INERCIA
Una integral de gran importancia en los problemas relacionados con la torsión barras cilíndricas y en los problemas relacionados con la rotación de placas es la siguiente
Jo = r2 dA
(9.3)
Donde r es la distancia desde 0 hasta el área elemental da (figura 9.6). Esta integral es el momento polar de inercia del área A con respecto del "polo' 0.
El momento polar deinercia de un área dada puede calcularse a partir de momentos rectangulares de inercia I X e IY del área si dichas cantidades ya son conocidas. De hecho, observando que r2 '= X2 + y2, se escribe


7.4. RADIO DE GIRO DE UN ÁREA
Considérese un área A que tiene un momento de inercia IX, con respecto del eje x (figura 9.7a). Imagínese que se ha concentrado esta área en una tira delgada paralela al ejex (figura 9.7b). Si el área A, concentrada de esta forma, debe tener el mismo momento de inercia con respecto de¡ eje x, la tira debe ser colocada a una distancia kx, a partir del eje x, donde k., está definida por la relación
Ix = kx2
Resolviendo para kx, se escribe

Se hace referencia a la distancia kx , como el radio de giro del área con respecto del eje x. En una forma similar, se puedendefinir los radios de giro ky. y ko (figura 9.7c y d); así, se escribe -

Si se reescribe la ecuación (9.4) en términos de los radios de giro, se encuentra que
Ko2 = kx2 +ky2
Ejemplo. Para el rectángulo mostrado en la figura 9.8, se calcula el radio (le giro kx , con respecto de su base. Utilizando las fórmulas (9.5) y (9.2), se escribe
En la figura 9.8 se muestra el radio de giro kx delrectángulo. El radio de giro no debe confundirse con la ordenada Y = h/2 del centroide del área. Mientras que kx , depende del segundo momento, o momento de inercia del área, la ordenada Y está relacionada con el primer momentodel área.

7.5. Teorema de los ejes Paralelos.
Consideremos el momento de inercia I de una área A con respecto a un eje AA' (figura 9.9). representando con y la distanciadesde un elemento de área dA hasta AA', escribimos

Dibujemos ahora un eje BB' paralelo a AA' que pase por el centroide C
del área: este eje es llamado un eje centroidal. Llamando y' la distancia
del elemento dA a BB', escribimos y = y' + d, donde d es la distancia
entre los ejes AA' y BB'. Remplazando y en la integral de I, escribimos
La primera integral representa el momento de inercia I delárea con respecto al eje centroidal BB'. La segunda integral representa el momento de primer orden del área con respecto a BB'; como el centroide C del área está localizado sobre ese eje. la segunda integral debe ser nula. Finalmente, observamos que la última integral es igual al área total A. Escribimos entonces,
I = I + Ad2 (9.9)
Esta fórmula expresa que el momento de inercia I de una áreacon respecto a cualquier eje dado AA' es igual al momento de inercia I del área con respecto a ,un eje centroidal BB' paralelo a AA' más el producto Ad2 del área A y el cuadrado de la distancia d entre los dos ejes. Este teorema se conoce como el teorema de los ejes paralelos. Remplazando I Por k2 A e I por K2 A. el teorema puede también expresarse de la siguiente manera:
k 2 = K2 + d2 (9.10)
Unteorema similar se puede usar para relacionar el momento polar de inercia J de una área con respecto a un punto 0 y el momento polar de inercia Jc de la misma área con respecto a su centroide C. Llamando d la distancia entre 0 y C, escribimos


Ejemplo 1. Como una aplicación del teorema de los ejes paralelos, se procederá a determinar el momento de inercia IT de un área circular con respecto deuna línea tangente al círculo (figura 9.10

Ejemplo 2. El teorema de los ejes paralelos también se puede utilizar para determinar el momento centroidal de inercia de un área cuando se conoce el momento de inercia del área con respecto de un eje paralelo. Por ejemplo, considérese una área triangular (figura 9.1 l). Utilizando el teorema de los ejes paralelos se escribe:

Se debe señalar...