movimiento

Coordenadas Polares
M. I. Caicedo
Departamento de F´
ısica, USB

´
Indice
1. Introducci´n
o

2

2. La Base de Vectores M´viles
o

2

3. Movimiento circular

6

3.1. Velocidad y aceleraci´n en la base m´vil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
o

6

3.2. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

4.Movimiento general en el plano

15

4.1. Coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1

15

5. C´
ırculo osculador y movimiento en el plano

20

6. Un problema importante

21

1.

Introducci´n
o
Hasta este momento hemos estudiado la cinem´tica y la din´mica de unos cuantos problea
a

mas en los cuales lo sencillo de la geometr´ nos ha sidode gran ayuda. En aplicaciones m´s
ıa
a
realistas, el modelado de situaciones f´
ısicas puede complicarse enormemente y una de las causas
de las complicaciones puede ser algo tan simple como un cambio en la geometr´ de una trayecıa
toria. En los ejemplos y problemas que hemos estudiado hasta este punto siempre ha resultado
que aquellos m´s engorrosos han sido los asociados a movimientoscurvil´
a
ıneos (circulares por
ejemplo).
En estos apuntes vamos a ver como es posible simplificar muchos de estos problemas con el
sencillo mecanismo de utilizar un sistema de coordenadas adaptado especialmente a la geometr´
ıa
de los movimientos que queremos estudiar.

2.

La Base de Vectores M´viles
o
Consideremos una part´
ıcula puntual que describe una trayectoria circular de radioR, sean:

θ el ´ngulo que forman el eje x y r(t) el vector de posici´n de la part´
a
o
ıculaen versiones futuras hacer el
.

dibujito

Un ejercicio elemental de geometr´ con el que ya deber´
ıa,
ımos tener bastante experiencia,
2

nos permite expresar el vector de posici´n en la forma:
o
ˆ
ˆ
r(t) = R [cosθ(t) ex + senθ(t) ey ] ,

(1)

en donde estamos destacando que, envista de que la part´
ıcula se mueve sobre un c´
ırculo de
radio R (i.e. |r(t)| = R, toda la dependencia temporal de r(t) tiene que estar en el ´ngulo.
a
Es facil darse cuenta de que podemos rescribir el vector de posici´n en la forma
o
ˆ
r(t) = R ur (t)

(2)

ˆ
ˆ
ur (t) ≡ cosθ(t) ˆx + senθ(t) ey
e

(3)

ˆ
donde el vector ur (t) est´ dado por
a

ˆ
Arriesg´ndonos a estarllamando la atenci´n sobre algo demasiado obvio notemos que ur (t)
a
o
es un vector que tiene tres propiedades:
1. es un vector unitario
ˆ
2. en cada instante de tiempo ur es paralelo al vector de posici´n r y en consecuencia:
o
3. es un vector variable (su dependencia en el tiempo es impl´cita ya que est´ asociada al
ı
a
ˆ
hecho de que ur depende en forma expl´
ıcita del angulo θ).
Envista de la ultima de estas propiedades tiene sentido plantearse el c´lculo de la derivada
´
a
ˆ
temporal de ur , cuyo resultado es el siguiente:
ˆ
dur (t)
˙
˙
ˆ
ˆ
ˆ
= θ (t) [−senθ(t) ex + cosθ(t) ey ] ,
ur (t) =
dt
3

(4)

˙
esta expresi´n contiene dos factores. El primero (θ) proviene de la aplicaci´n de la regla de
o
o
la cadena para la diferenciacin de funcionescompuestas, mientras que el segundo, a saber, el
vector:
ˆ
ˆ
uθ (t) ≡ −senθ(t) ex + cosθ(t) ˆy
e

(5)

es un nuevo versor variable que tambien posee propiedades bonitas, a saber
ˆ
1. al igual que su pariente ur (t), es un vector unitario dependiente del tiempo.
ˆ
ˆ
2. uθ (t) es ortogonal al vector ur (t)
ˆ
3. La orientaci´n de uθ (t) es en el sentido en que aumenta el ´ngulo θ.
o
a
Lasegunda de estas propiedades es la m´s evidente y podemos verificarla de dos maneras.
a
ˆ
En primer lugar y recordando lo que ya hemos estudiado en varios problemas ur es un vector
˙
ˆ
ˆ
ˆ
de m´dulo constante y por lo tanto su derivada (ur ) tiene que ser ortogonal a ur , como uθ
o
ˆ
es proporcional a la derivada de ur tiene que ser ortogonal a este. La otra prueba consiste en
calcular...