Número Completos Teoría

El campo de los n´ meros complejos
u
Mario Pineda Ruelas
Departamento de Matem´ticas,
a
Universidad Aut´noma Metropolitana-Iztapalapa
o
correo electr´nico: mpr@xanum.uam.mx
o

Gabriel D. Villa Salvador
Departamento de Control Autom´tico,
a
Centro de Investigaci´n y de Estudios Avanzados, IPN
o
correo electr´nico gvilla@ctrl.cinvestav.mx
o

1

Introducci´n
o

Si a, b ∈ N,entonces la ecuaci´n x + a = b no siempre tiene soluci´n en N. Esta
o
o
es una buena raz´n para extender al sistema de los n´meros naturales N a otro
o
u
sistema en el cual ecuaciones de la forma x + a = b tengan soluci´n. As´ usando
o
ı,
una relaci´n de equivalencia ∼ en el conjunto N × N y considerando el conjunto
o
cociente N × N/ ∼ se construye el anillo de los enteros Z y se puedeverificar
f´cilmente que las ecuaciones x + a = b tienen soluci´n en Z. Sin embargo, Z
a
o
tambi´n tiene su inconveniente. Si a, b ∈ Z, entonces no todas las ecuaciones
e
de la forma ax = b tienen soluci´n. Nuevamente, por medio de una relaci´n de
o
o
equivalencia ∼ en el conjunto Z × Z \ {0} se construye el campo de los n´meros
u
racionales Q y aqu´ las ecuaciones ax = b se puedenresolver. Todos sabemos
ı,
√
u
que si p es un n´mero primo positivo, entonces p es un n´mero irracional
u
y por lo tanto la ecuaci´n x2 = p no es soluble en Q. Usando una relaci´n
o
o
de equivalencia en el conjunto de sucesiones de Cauchy de n´meros racionales
u
se construye al campo de los n´meros reales R y en R, las ecuaciones de la
u
forma x2 = a con a ≥ 0 tienen soluci´n. Sin embargo,la ecuaci´n x2 = −1
o
o
no es soluble en R. Aprovecharemos este afortunado suceso como pretexto para
agrandar al campo de los n´meros reales y para tener la garant´ de poder
u
ıa
resolver cualquier ecuaci´n polinomial.
o
El objetivo fundamental de este cap´
ıtulo es el de construir al campo de los
n´meros complejos C, estudiar su aritm´tica, resolver cierto tipo de ecuaciones
u
e
ycomo platillo principal, daremos una demostraci´n del Teorema Fundamental
o
´
del Algebra sin usar el lenguaje del an´lisis complejo.
a
Vamos a suponer que el lector est´ familiarizado con las propiedades elemena
tales de los n´meros reales y con el concepto de continuidad de funciones de R2
u
en R2 .

1

2

Aritm´tica de los complejos
e

Consideremos el plano cartesiano R × R ={(a, b) : a, b ∈ R}. En este conjunto
definimos la suma y producto de pares ordenados como:
(a, b)(x, y ) = (ax − by, ay + bx).

(a, b) + (x, y ) = (a + x, b + y ),

Teorema 2.1. R × R con la suma y producto antes definidos, es un campo.
Demostraci´n: La asociatividad y conmutatividad de la suma son evidentes.
o
El elemento (0, 0) es el neutro aditivo. Si (a, b) ∈ R × R, entonces (−a, −b) esel inverso aditivo de (a, b).
El producto es asociativo y conmutativo. Tambi´n, un simple c´lculo muese
a
tra que (1, 0)(x, y ) = (x, y ). Por lo tanto, el elemento (1, 0) es el neutro multiplicativo. Si (a, b) = (0, 0), entonces a ´ b es = 0. Supongamos que al menos
o
a = 0. Queremos ver que (a, b) tiene un inverso multiplicativo en R × R. Sea
(x, y ) ∈ R × R tal que
(a, b)(x, y ) = (ax −by, ay + bx) = (1, 0).
Resolviendo el sistema de ecuaciones
ax − by
bx + ay

=
=

1
0,

a
−b
, y= 2
. Por lo anterior, si (a, b) = (0, 0), ena2 + b2
a + b2
a
−b
tonces (a, b)−1 =
,
.
2 + b2 a2 + b2
a
La propiedad distributiva la dejamos como ejercicio.
obtenemos que x =

Definici´n 2.2. El conjunto C = R × R junto con la suma y producto definidos
o
anteriormente se llamael campo de los n´meros complejos.
u
El t´rmino plano complejo se usa frecuentemente para referirse a los puntos
e
de R × R vistos como n´meros complejos.
u
Una observaci´n importante es que en cualquier campo el neutro aditivo, el
o
neutro multiplicativo, el inverso aditivo y el inverso multiplicativo son unicos
´
con respecto a la propiedad que los define.

2

Teorema 2.3....