Número real

Número real

Diferentes clases de números reales.

Recta real.
En matemáticas,el conjunto de los números reales (denotado por ℝ) incluye tanto a los números racionales (positivos, negativos y el cero) como a los números irracionales; y en otro enfoque, trascendentes y algebraicos. Los irracionales y los trascendentes1 (1970) no se pueden expresar mediante una fracción de dos enteros condenominador no nulo; tienen infinitas cifras decimales aperiódicas, tales como: √5, π, el número real log2, cuya trascendencia fue enunciada por Euler en el siglo XVIII.1
Los números reales pueden ser descritos y construidos de varias formas, algunas simples aunque carentes del rigor necesario para los propósitos formales de matemáticas y otras más complejas pero con el rigor necesario para el trabajomatemático formal.
Durante los siglos XVI y XVII el cálculo avanzó mucho aunque carecía de una base rigurosa, puesto que en el momento prescindían del rigor y fundamento lógico, tan exigente en los enfoques teóricos de la actualidad, y se usaban expresiones como «pequeño», «límite», «se acerca» sin una definición precisa. Esto llevó a una serie de paradojas y problemas lógicos que hicieron evidentela necesidad de crear una base rigurosa para la matemática, la cual consistió de definiciones formales y rigurosas (aunque ciertamente técnicas) del concepto de número real.2 En una sección posterior se describirán dos de las definiciones precisas más usuales actualmente: clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy de números racionales ycortaduras de Dedekind.

Recta numérica
La rectanumérica o recta real1 es un gráfico unidimensional o línea recta la cual contiene todos los números reales ya sea mediante una correspondencia biunívoca o mediante una aplicación biyectiva, usada para representar los números como puntos especialmente marcados, por ejemplo los números enterosmediante una recta llamada recta graduada entera1 ordenados y separados con la misma distancia.

Recta numérica en laque se muestran los números enteros entre -9 y 9, se sobrentiende que la recta incluye todos los números reales ilimitadamente en cada sentido.
Está dividida en dos mitades simétricas por el origen, es decir el número cero. En la recta numérica mostrada arriba, los números negativos se representan en rojo y los positivos en violeta.

El conjunto de los números reales
Al conjunto de los númerosreales se llega por sucesivas ampliaciones del campo numérico a partir de los números naturales. En cada una de las ampliaciones se avanza y mejora respecto de la anterior.
Con los números naturales (N) se puede sumar y multiplicar pero no se puede restar (a  b) si a  b. Se definen así los números negativos o enteros negativos que al unirse con el cero y los naturales constituyen el conjunto de losnúmeros enteros (Z).  Con los números enteros (Z) se puede sumar, restar, multiplicar pero no dividir  si a no es múltiplo de b.
Se definen así los números fraccionarios que unidos a los enteros constituyen el conjunto de los números racionales.
Todo número racional se puede expresar como un número decimal exacto  o como un número decimal periódico, es decir con infinitas cifras decimales que serepiten 
Con los números racionales se puede sumar, restar, multiplicar y dividir (  si b  0). Si bien el conjunto de los números racionales tiene una muy buena estructura para realizar las diferentes operaciones quedan algunas situaciones que no se pueden considerar dentro de él (,,  , entre otros). Surgen los números irracionales para dar respuesta a estas instancias.
Los números irracionalesse pueden expresar como números decimales de infinitas cifras decimales no periódicas.
Los números irracionales (I) unidos a los racionales (Q) definen el conjunto de los números reales (R).

Los números reales cumplen propiedades comprendidas en tres categorías: propiedades algebraicas, propiedades de orden y de completitud. Las propiedades algebraicas establecen que los números reales pueden...