Numeros Complejos Ejercicios

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
UNIVERSIDAD DEL ZULIA
FACULTAD DE HUMANIDADES Y EDUCACIÓN
PLAN ESPECIAL: MATEMÁTICA Y FÍSICA
ASIGNATURA: CÁLCULO AVANZADO

INTEGRANTES:

Maracaibo; 11 de diciembre de 2010
1.- Resolver las siguientes ecuaciones:
a) z4 – 4z3 + 6z2 – 4z -15 = 0 Con z ∊ ℂ
SOLUCIÓN:
Aplicamos Ruffini
| 1 | -4 | 6 | -4 | -15 |
3 | | 3 | -3 | 9 | 15 |
| 1 | -1| 3 | 5 | 0 |
-1 | | -12 | 2 | 5 | |
| 1 | -2 | 5 | 0 | |

Luego:
z4 – 4z3 + 6z2 – 4z -15 = ( (z - 3)(z + 1)z2 – 2z -15) = 0
Resolvemos: z2 – 2z -15
Ahora aplicamos la resolvente (ecuación de segundo grado)
z = -b±b2-4.a.c2.a
z2 – 2z -15 ⇒ a = 1; b= -2 ; c= 5
Sustituyendo tenemos:
z = -(-2)±(-2)2-4.1.52.1 ⇒ z = 2±4-202 = 2±-162
z1= 2+4i2 ; z2= 2-4i2 →z1= 1+2i ; z2= 1-2i
Ahora:
z4 – 4z3 + 6z2 – 4z -15 = (z - 3)(z + 1)[z – (1 + 2i)] [z – (1 - 2i)]= 0

Las soluciones de la ecuación son:
Z1= 3
Z2= -1
Z3= 1 + 2i
Z4= 1 – 2i

b) (x+i)n - (z - i)n = 0, (donde x es real y n es natural)
SOLUCIÓN:
Sí x pertenece a los reales,
z = x+i ∊ℂ y z = x-i ∊ ℂ ⇒ zn . z n = 0
En forma trigonométrica quedaría:
z = rCiS θ y z= r CiS (-θ)
Luego sustituimos y nos queda:
zn - z n = 0 ⇒ (rCiS θ )n - (r CiS (-θ))n = 0 ⇒ rn CiS nθ - rn CiS (-nθ)=0
rn (CiS nθ - CiS (-nθ)) =0 con rn ≠0
CiS nθ - CiS (-nθ) = 0 , luego:
Cos nθ + i sen nθ – (Cos (-nθ)) + i sen (-nθ) = 0
Sabiendo que:
cos (-nθ) = Cos nθ
sen(-nθ) = -sen nθ
Tenemos que:
Cos nθ + i sen nθ - (Cos nθ - i sen nθ) =0
Cos nθ + i sen nθ - Cos nθ + i sen nθ = 0, eliminamos y nos queda:
2i sen nθ = 0 con 2i ≠0
sen nθ = 0 → nθ = kπ con k = ( 1,2,3,…..), luego despejamos:
θ = kπn
z = r CiS kπn = r (cos kπn + sen kπn )
Siendo
z = x + i
x = r cos kπn y 1 = sen kπn luego despejamos:
r= 1sen kπn ⇒ x = r cos kπn = 1sen kπn . cosk πn
x= cot k πn donde n ∊ ℕ y k = (1,2,3,….)

c) cos x + i sen x = cos x - i sen x (x es real)
SOLUCIÓN:
Igualamos a cero la expresión
cos x + i sen x - cos x + i sen x = 0, eliminamos y nos queda
2i sen x = 0 con 2i ≠0
Para que esta ecuación sea cero
x = nπ ; donde:
n = 0,1,2,3,4,5………

2.- Hallar el número complejo z, cuya imagen es elpunto del segmento z1z2 que dista dos veces más de z2 que de z1
SOLUCIÓN:
z2 z = 2zz1
z - z2 = 2( z1 – z) ⇒z = x + iy
por lo tanto:
z1 = x1 + iy 1
z2 = x2 + iy 2
ahora sustituimos y nos queda :
(x – x2) + i (y – y2)= 2[(x1 -x) + i (y1 - y)]
(x – x2) + i (y – y2)= 2(x1 -x) + i2 (y1 - y)]
(x – x2) = 2(x1 -x) donde x = x1+x23 Y y = y1+y23
de allínos queda que:
z= 2x1+x23+i( y1+y23) ⇒ z= 2z1+z23

3.- El centro de un cuadrado está situado en el punto z0 = 1 + i, y uno de sus vértices es el punto z1= 1 – i. determine los restantes vértices del cuadrado.
SOLUCIÓN:
Al decir que z0 es el centro se especifica que:
d (z1z0) = d (z2z0) = d (z3z0) = d (z4z0) , luego:
|z1 - z0| = |z2 - z0| = |z3 - z0| = |z4 - z0| ahora sustituimosz0 y z1
|z1 - z0|= |(1 - i)- (1 – i )|= |-2i|= 2
Si z2 es el otro extremo de la diagonal que contiene a z1 tenemos
d (z2z1) = 2d (z1z0) | d (z2z1) = 4 → |z2 – z1| = 4 |
|z2 – z0| = 2 | |z2 – z1| = 4 |
|(a2 + b2i)(1 + i)| =2 | |(a2 + b2i) - (1 - i)| =4 |
|(a2 - 1)2 + (b2 - 1) i | =2 | |(a2 - 1) + (b2 + 1) i | =4 |
(a2-1) 2+(b2-1)2 = 2 | (a2-1)2+(b2+1)2 = 4 |
(a2-1) 2+b2-12=4 (1) | (a2-1) 2+b2+12=16 (2) |
Ahora restamos las ecuaciones (1) y (2) y obtenemos:
(a2-1) 2+b2-12- [a2-1) 2+b2+12=16-4 ⇒
b2-12-b2-12=12
Luego desarrollamos cuadrados:
b22- 2b2+ 1- (b22- 2b2+ 1) = 12
4b2=12 ⇒ b2=124 →b2=3
Luego sustituimos el valor de b2 en (1)
(a2-1) 2+3-12=4 ⇒ (a2-1) 2+22=4 ⇒(a2-1) 2+4=4
Ahora despejamos a...