numeros complejos

LOS NUMEROS COMPLEJOS Y SUS OPERACIONES













ASIGNACIÒN DE EJERCICIOS DE LA UNIDAD I: VARIABLE COMPLEJA
Para todos los casos donde aparezca im= usaremos i37
Potencias de la unidad imaginaria
i0 = 1

i1 = i

i2 = −1

i3 = −i

i4 = 1

Los resultados de las potencias de la unidad imaginaria se repiten de cuatro en cuatro.

Ya que las potencias imaginarias semueven en siclos que se resuelven dividiendo entre 4 la potencia y tomando el residuo de la misma. Los demás ejercicios se resolverán de la siguiente manera.

Efectuar las operaciones indicadas:


Solución:
Sabemos que

Una vez calculado el modulo cambiamos a la forma polar para poder encontrar las raíces, tenemos: parte real y parte imaginaria de manera que el punto está ubicado enel segundo cuadrante: luego buscamos el Angulo para de esta manera poder encontrar las soluciones de la raíz, un numero imaginario tiene tantas raíces como el índice se tiene.

En el tercer cuadrante serian 3.8553rad.
Luego aplicando la formula tendría tres posibles respuestas, para K = 0,1,2.
Aplicando la formula tres veces obtenemos los siguientes ángulos:

Luego cambiamos nuevamente a laforma polar a la forma binomio
Así:







Sabemos que:



Sustituyendo cada valor nos queda que:










2.) Demostrar que:



cos(3z) = cos(2z+z) = cos(2z)cosz - sen(2z)senz

Pero:
cos(2z) = cos² z- sen²z = 2cos²z - 1
sen(2z) = 2senzcosz
sen² z= 1 - cos²z

Reemplazando tenemos:
cos3z= (2cos²z - 1)cos z- (2senz cosz)sen z=2cos³z - cosz - 2sen² cosz
=2cos³z - cosz- 2(1-cos²z)cosz 
=2cos³z - cosz - 2cos z+ 2cos³ z
cos3z =4cos³ z- 3cosz

3.) Expresar la función en la forma:


4.) Determine si la siguiente función es armónica, si lo es determine la armónica conjugada: f (z) = y/(x2+y2)


Debemos buscar la primera y la segunda derivada con respecto a x e y.
Primero conrespecto a x
Calculando la primera derivada parcial


Una vez que se tiene esta derivada parcial, procedemos a la segunda derivada parcial, derivando el resultado anterior con respecto de x


Luego con respecto a y


Al obtener la primera derivada hacemos la segunda derivada, resolviendo con respecto de y el resultado anterior.



Luego sumamos las derivadas parciales:





Porlo tanto la función es armónica










ASIGNACIÒN DE EJERCICIOS DE LA UNIDAD II: ECUACIONES DIFERENCIALES

1.) Determine si la función es solución de la ecuación diferencial.

Solución problema 1
Parte a.

PARA PROBAR SI LA FUNCION ES SOLUCION O NO DE LA ECUACION DIFERENCIAL SE PROCEDERA A A BUSCAR CADA TERMINO EN ESTE CAS SE REQUIERE LA SEGUNDA DERIVADA.
ASI TENEMOS:Luego sustituimos ambos valores en la ecuación dada



LUEGO LA ECUACIÓN NO ES UNA SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DADA

Parte b

AL IGUAL QUE EL ANTERIOR BUSCAMOS LA PRIMERA DERIVADA DE LA FUNCIÓN:

Luego tenemos

Uniendo términos semejantes tenemos

POR LO TANTO LA FUNCIÓN SI ES SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL.

Parte c

BUSCAMOS LA PRIMERA Y LA SEGUNDA HASTA LA DERIVADA DEORDEN 4 PARA LUEGO PODER SUSTITUIR EN LA ECUACION DIFERENCIAL




Luego sustituyendo cada una de ellas en la ecuación tenemos:


FINALMENTE UNIENDO TÉRMINOS SEMEJANTES LLEGAMOS A



2.) Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales de primer orden de acuerdo al método correspondiente.Solución problema 2
Parte a
la ecuación presenta forma de variables separables resolviendo tenemos:

Luego uniendo x con dx y y don dy tenemos




Finalmente integrando a ambos lados de la igualdad tenemos




Parte b
LA ECUACIÓN PRESENTADA TIENE FORMA DE HOMOGÉNEA ASI TENEMOS:


Dividiendo entre dy tenemos

Luego hacemos en cambio y=ux de donde y’=u +xu’...