Numeros complejos

Un número complejo z es un par ordenado de números reales x e y, escrito como:

z = (x,y)

(Notación en componentes o coordenadas cartesianas). x se llama la parte real de z: Re(z) := x y se llama la parte imaginaria de z: Im(z) :=y

El conjunto de números complejos, se denota por C:

C : ( x, y) : x, y  
Dos números complejos son iguales si y sólo si sus partes reales e imaginariasson iguales: (x1,y1) = (x2,y2) sii x1= x2 , y1= y2
1

(0,1) se llama la unidad imaginaria y se denota por:

i  (0,1)
(Los ingenieros eléctricos a menudo usan “j” para evitar confusiones con el símbolo “i”, que asocian a la intensidad eléctrica).

Un número complejo z = (x,y) se escribe comúnmente como (notación algebraica o binómica, “afijo” en textos de antaño):

z=x+iy
Si x = 0 (z= i y), entonces z se dice que es un imaginario puro. Si y = 0 (z = x), entonces z se comporta como un número real. 2

Suma y producto de números complejos

Sean:

z1  x1  iy1 z2  x2  iy 2
Parte real

“En la facultad teníamos un profesor cojo al que llamábamos el complejo. Tenía una pierna real y otra imaginaria.” Memorias de un estudiante de matemáticas

Parte imaginaria

Sumaz1  z2  ( x1  x2 )  i( y1  y2 )
Producto

z1 z2  ( x1 x2  y1 y2 )  i( x1 y2  x2 y1 )
3

Ejemplos: (1)

i 2  (0  i)(0  i)  (0  1)  i(0  0)  1
De modo que podemos sustituir siempre:

i i 

1 1 



 1  1



i  1
2

2

(2)

Esto nos permite una manera práctica de operar. Por ejemplo:

(4  5i)(2  3i)  [4  2  (5i)  3i]  [4  3i (5i)  2]  (8  15)  i(12  10)  23  2i
4

La resta y la división se definen como operaciones inversas de la suma y la multiplicación respectivamente Resta (operación inversa a la suma)

z1  z2  z

¿Qué es z ? z + z2 = z1

z  ( x1  x2 )  i( y1  y2 )
División (operación inversa al producto)

z1  z ¿Qué es z ? z z2 = z1, siempre que z20. z2
Ejercicio: demostrar que es cierto.x1 x2  y1 y2 x2 y1  x1 y2 z i 2 2 2 2 x2  y2 x2  y2

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Ejemplo:

Sean z1=18 + 3i
Calcular:

z2 = -7 + 2i

Re(z1) = 18, Im(z1) = 3, z1+z2 = 11 + 5i,

Re(z2) = -7 Im(z2) = 2 z1-z2 = 25+i

z1z2 = (18+3i)(-7+2i) = -132 + 15i
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Complejo conjugado
El complejo conjugado z de un número complejo z = x + i y se define como:

z  x  iy
zz
Es sencillo demostrar que:También se suele denotar como : z 
*

z1 z2  z1 z2  2 Re( z1 z2 )

z1  z2  z1  z2 z1  z2  z1  z2
zz Re( z )  2

z1 z2  z1 z2 z1 / z2  z1 / z2
zz Im( z )  2i

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Por ejemplo:

z  x  iy  x  iy  x  iy  z

z1  z2  ( x1  iy1 )  ( x2  iy 2 )  ( x1  x2 )  i ( y1  y2 )  ( x1  x2 )  i( y1  y2 )  ( x1  iy1 )  ( x2  iy 2 )  z1  z 2

z1 z2  ( x1 x2 y1 y2 )  i ( x1 y2  x2 y1 )  ( x1 x2  y1 y2 )  i ( x1 y2  x2 y1 )  ( x1  iy1 )( x2  iy 2 )  z1 z2
z  z ( x  iy )  ( x  iy ) 2 x    x  Re( z ) 2 2 2

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Observemos que:

z z  ( x  iy )( x  iy )  x  y
2

2

En la práctica, obtenemos el cociente de dos números complejos z1 / z2 multiplicando el numerador y denominador de por el complejo conjugado de z2.

x1  iy1x1  iy1 x2  iy 2   x2  iy 2 x2  iy 2 x2  iy 2 x1 x2  y1 y2 x2 y1  x1 y2 i 2 2 2 2 x2  y 2 x2  y 2

9

Ejemplos:

(1) Sean de nuevo:

z1=18 + 3i

z2 = -7 + 2i

z1 (18  3i)(-7-2i) -120-57i   2 2 z2 7 2 53

z1 z2  (18-3i)(-7-2i)  -132-15i  z1 z2
z1 (18  3i)(-7  2i) -120  57i  z1      2 2 z  7 2 53 z2  2
(2)

1 1 i i     i i i i 1
10Propiedades algebraicas
Ley de clausura: z1 + z2 y z1 z2 pertenecen a C.

La suma y el producto dotan a C de estructura de cuerpo.
Las propiedades son fáciles de probar escribiendo z en forma algebraica x+iy, y usando las correspondientes propiedades de los números reales.

Ley conmutativa: z 1 + z 2 = z2 + z 1 z 1 z 2 = z2 z 1 Ley asociativa: (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) (z1 z2) z3 =...