NUMEROS COMPLEJOS

Capítulo 4
LOS NÚMEROS COMPLEJOS
4.1 INTRODUCCIÓN
Desde la antiguedad se conocía el hecho de que ecuaciones tan simples
como
B#  " œ !
no tenían solución entre los números que representaban cantidades, que
eran los únicos números que se consideraban en aquella época (números
reales). Este tipo de ecuaciones no despertó entonces el interés de los
matemáticos: sencillamente no tenían solución. Fuéen Italia, durante el
período del renacimiento, cuando por primera vez los algebristas se
encuentran con expresiones formales donde aparecen raíces cuadradas de
números negativos. Pero la motivación principal para entender estas
expresiones no viene de las ecuaciones cuadráticas sino de las ecuaciones
cúbicas. Es en el libro Ars Magna de Girolamo Cardano, publicado en
1545, donde aparecen losnúmeros complejos por primera vez. Allí se
presenta, por ejemplo, la ecuación:
B$ œ $:B  #;
y Cardano dá como solución la fórmula:
$
$
Bσ
;  È; #  :$  É
;  È; #  : $

conocida hoy, haciendo un poco de justicia a la historia, como fórmula de
Scipione del Ferro- Tartaglia-Cardano. Si ponemos : œ # ß ; œ "ß
entonces la ecuación: B$ œ 'B  # tendrá como solución, según esta
formula:
$
$
B œ É"  È (  É"  È  (
Con un poco de paciencia, si uno sustituye este número en la ecuación y si
se acepta que:
Ð"  È  (ÑÐ"  È  ( ) œ )

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entonces efectivamente la satisface. Fué Rafael Bombelli , considerado
el padre de los números complejos, quien desarrolló el álgebra formal de
este tipo de expresiones, basándose en la obra de Cardano. Sin embargo, el
significado de estos números seguíaquedando en la obscuridad. Es por
eso que se los llamó imaginarios y fué Euler quien propuso llamar 3 a la
unidad imaginaria À 3 œ È  " Þ Finalmente Gauss publica, en 1831,
un trabajo donde expone con toda claridad las propiedades de los números
de la forma +  ,3 , cuya representación gráfica como puntos de un plano
ya había sido planteada en 1806 por el suizo J.Argand, por lo que dicharepresentación se conoce como diagrama de Argand.

4.2. DEFINICIÓN Y PROPIEDADES BÁSICAS
Sea ‚ œ ‘ ‚ ‘ provisto de la siguiente estructura algebraica:
ñ suma: Ð+ß ,Ñ  Ð-ß .Ñ œ Ð+  -ß ,  .Ñ
ñ producto: Ð+ß ,ÑÐ-ß .Ñ œ Ð+-  ,.ß +.  ,-Ñ
Cabe preguntarse qué reglas básicas satisfacen estas operaciones. La
respuesta es que el trío Ð‚ß  ß ÞÑ es un cuerpo conmutativo, es decir,
satisface los siguientes 9axiomas:
1) asociatividad de la suma: ÐB  CÑ  D œ B  ÐC  DÑ
2) existencia de neutro de la suma: !  B œ B  ! œ B
$) existencia de inverso de la suma: B  Ð  BÑ œ !
%) conmutatividad de la suma: B  C œ C  B
&) asociatividad del producto: ÐBCÑD œ BÐCDÑ
') existencia de neutro del producto : BÞ" œ "ÞB œ B
() existencia de inverso del producto para elementos no nulos
8) conmutatividad del producto: BCœ CB
9) distributividad : BÐC  DÑ œ BC  CD
La demostración de estas propiedades es sencilla, pero , en algunos casos,
un poco larga y tediosa. Veamos algunas de ellas: el par Ð!ß !Ñ es
obviamente un neutro de la suma, así como el par Ð  +ß  ,Ñ es inverso
aditivo de Ð+ß ,ÑÞ El par Ð"ß !Ñ es claramente neutro del producto y el par
+
,
Ð +# ,
# ß +# , # Ñ es inverso multiplicativo del par Ð+ß,Ñ. Notar que si
D œ Ð+ß ,Ñ Á ! entonces no puede ser + œ , œ ! ß por lo que
+ #  , # Á !.

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La asociatividad de la suma se obtiene directamente de la asociatividad de
la suma en ‘, pero la asociatividad del producto es preciso comprobarla
con un cálculo un poco largo usando la definición. Lo mismo ocurre con
la distributividad.
Los números complejos pueden representarse como puntos en unplano:

Figura 4.1
Los números reales pueden ser sumergidos dentro de los complejos:
consideremos el subconjunto ‘! œ ÖÐBß !Ñ À B − ‘× © ‚ : la función
9 À ‘ Ò ‘! definida por 9ÐBÑ œ ÐBß !Ñ es una función biyectiva que
respeta las operaciones:
9ÐB  CÑ œ ÐB  Cß !Ñ œ ÐBß !Ñ  ÐCß !Ñ œ 9ÐBÑ  9ÐCÑ
9ÐBCÑ œ ÐBCß !Ñ œ ÐBß !ÑÐCß !Ñ œ 9ÐBÑ9ÐCÑ
Una biyección de este tipo se llama un isomorfismo y...