numeros irracionales infinitos

NÚMEROS IRRACIONALES INFINITOS
1.- INTRODUCCIÓN
En esta tarea se estudiarán Números Irracionales Infinitos [NII] de la forma:

siendo k>0, ya que si k=0 se presenta un caso trivial en el cual el NII es siempre igual a 0 y si k
n=1 =>
n=2 =>
n=3 =>
Y así sucesivamente.
Con este patrón se generó la Tabla 1 usando la hoja de cálculo Excel.
En esta tabla, se muestran:
enla columna (1) los valores de n.
en la columna (2) los valores de los términos de la sucesión Tn, calculados usando la fórmula [1], con 10 cifras decimales.
en la columna (3) la diferencia entre cada término y el anterior: Tn+1-Tn.
[Tabla 1 en página siguiente] 







(1)
(2)
(3)

n
Tn
Tn+1-Tn

0
1
--

1
1,4142135624
0,4142135624

2
1,5537739740
0,1395604117

31,5980531825
0,0442792084

4
1,6118477541
0,0137945716

5
1,6161212065
0,0042734524

6
1,6174427985
0,0013215920

7
1,6178512906
0,0004084921

8
1,6179775309
0,0001262403

9
1,6180165422
0,0000390113

10
1,6180285975
0,0000120552

11
1,6180323228
0,0000037253

12
1,6180334739
0,0000011512

13
1,6180338297
0,0000003557

14
1,6180339396
0,0000001099

151,6180339736
0,0000000340

16
1,6180339841
0,0000000105
TABLA 1
17
1,6180339873
0,0000000032
Número Irracional Infinito
18
1,6180339883
0,0000000010
[NII]
19
1,6180339886
0,0000000003
con k=1
20
1,6180339887
0,0000000001

La columna (2) de la Tabla 1 muestra que, a medida que n crece, el NII parece acercarse al número decimal 1,6180339…..
La columna (3) de la Tabla 1muestra que, a medida que n crece, la diferencia entre cada término y el anterior se hace cada vez más pequeña, o sea, tiende a cero, es decir:
cuando [2]
Estas características se pueden observar también en el siguiente gráfico, que muestra los primeros 10 términos de la secuencia (Tn) en función de n:

Gráfico 1 - NII con k=1

En base a lo deducido de la Tabla 1 y el Gráfico 1, sebuscará el valor exacto al cual tiende el NII:
Recordando que , reemplazando en [2], elevando al cuadrado y ordenando, queda:
,
ecuación cuadrática, cuyas dos raíces, halladas con la GDC Casio son:
y
Descartando x2 por ser negativa, resulta que el valor exacto al cual tiende el NII es:
[3]
----------------------------------------------------
3.- CASO K=2
Si k=2, los términosde la sucesión serán:
n=0 =>
n=1 =>
n=2 =>
n=3 =>
Y así sucesivamente.
Con este patrón se generó la Tabla 2 usando la hoja de cálculo Excel.
En esta tabla, se muestran:
en la columna (1) los valores de n.
en la columna (2) los valores de los términos de la sucesión Tn, calculados usando la fórmula [1], con 10 cifras decimales.
en la columna (3) la diferencia entre cadatérmino y el anterior: Tn+1-Tn.
(1)
(2)
(3)

n
Tn
Tn+1-Tn

0
1,4142135624
--

1
1,8477590650
0,4336455026

2
1,9615705608
0,1138114958

3
1,9903694533
0,0287988925

4
1,9975909124
0,0072214591

5
1,9993976374
0,0018067250

6
1,9998494037
0,0004517663

7
1,9999623506
0,0001129469

8
1,9999905876
0,0000282371

9
1,9999976469
0,0000070593

101,9999994117
0,0000017648

11
1,9999998529
0,0000004412
TABLA 2
12
1,9999999632
0,0000001103
Número Irracional Infinito
13
1,9999999908
0,0000000276
[NII]
14
1,9999999977
0,0000000069
con k=2
15
1,9999999994
0,0000000017


La columna (2) de la Tabla 2 muestra que, a medida que n crece, el NII parece acercarse 2.
La columna (3) de la Tabla 2 muestra que, a medida que n crece, ladiferencia entre cada término y el anterior se hace cada vez más pequeña, o sea, tiende a cero, es decir:
cuando [4]
En base a esta característica, se buscará el valor exacto al cual tiende este NII:
Recordando que , reemplazando en [4], elevando al cuadrado y ordenando, queda:
,
ecuación cuadrática, cuyas dos raíces, halladas con la GDC Casio son:
y
Descartando x2 por ser...