Numeros Reales
Páginas: 9 (2221 palabras)
Publicado: 30 de julio de 2012
CAPITULO II
SISTEMA DE LOS NUMEROS REALES.
1. INTRODUCCION.
Como parte de la exploración de conocimientos previos, es bueno preguntar qué números irracionales conocen, la diferencia entre un irracional y un racional. Al estudiar en la presente unidad además de conocer los números irracionales que son las raíces cuadradas de los números naturales que no son cuadrados perfectos, esnecesario que también conocer la existencia otros números irracionales tales como: número y el número e. (número e base de los logaritmos neperianos).
De manera similar a los sistemas de números naturales, enteros y racionales, se hace una presentación axiomática. Los axiomas que se dan son los mismos que los dados para los números racionales.
El sistema de los números racionales satisfacetodos los axiomas del sistema de los números reales, excepto del Axioma del Supremo. Así, sin este axioma, no podríamos demostrar la existencia de los números irracionales tales como .
A continuación exponemos la demostración de que no puede expresarse como el cociente de dos números enteros y que en consecuencia es un número irracional.
Supongamos que y a y b primos entre sí (a/b fracciónirreducible)
Entonces, a2 = 2b2 a2 es par a es par
Es decir, a = 2m a2 = 4m2, entonces 2b2 = 4m2 b2 = 2m2
b2 es par b es par.
2. DEFINICION AXIOMÁTICA.
El Sistema de los Números Reales, es un conjunto denotado por (), que está provisto de dos operaciones internas: adición y multiplicación., de un axioma de distribución de la multiplicación respecto de la adición, de axiomasrelativos a la igualdad, axiomas relativos a la relación de orden menor y de un axioma del supremo.
A continuación enunciaremos, ordenadamente cada uno de los axiomas:
2.1. AXIOMAS DE ADICIÓN (, +, 0)
La adición es una operación interna (cerrada o de clausura) definida en , tal que, a cada par (a, b) de números reales corresponde al único número real a + b, llamado la suma de a y b.NOTACIÓN: + : x
( a, b) a + b
AXIOMAS:
A1: Si a y b , entonces ( a + b ) (Cerradura o clausura)
A2: a + b = b + a, a, b (Conmutativa)
A3: (a + b) + c = a + ( b + c), a, b y c ( Asociativa)
A4: ! 0 / 0 + a = a + 0 = a (Elemento Neutro Aditivo)
A5: a , ! –a / a + (-a) = (-a) + (a) = 0 (Inverso Aditivo)
2.2. AXIOMAS DE MULTIPLICACIÓN (,* , 1)
Lamultiplicación es una operación interna (cerrada o de clausura) definida en , tal que, a cada par (a, b) de números reales corresponde al único número real a * b, llamado el producto de a y b.
NOTACIÓN: * : x
( a, b) a * b
AXIOMAS:
M1: Si a y b , entonces ( a * b ) (Cerradura o clausura)
M2: a * b = b * a, a, b (Conmutativa)
M3: (a * b) * c = a * ( b* c), a, b y c ( Asociativa)
A4: ! 1 / 1 * a = a * 1 = a (Elemento Neutro Multiplicativo)
A5: a0, ! a-1 = / a * a-1 = a-1*a = 1 (Inverso Multiplicativo)
2.3. AXIOMA DISTRIBUTIVA DE LA MULTIPLICACIÓN RESPECTO DE LA ADICIÓN.
a( b+c) = ab + ac, a, b y c
2.4. AXIOMA DE LA IGUALDAD
Para los números reales a, b y c se cumplen los siguientes axiomas:
I1: a = a, a.(reflexiva)
I2: a = b b = a (simétrica)
I3: Si a = b b = c a = c (transitiva)
3. TEOREMAS RELATIVOS
3.1. TEOREMA DE IGUALDAD – ADICION
Si a = b, entonces a + c = b + c, c
Si sumamos al número real “a” otro número real “c”, el resultado obtenido es un número real único: a + c
Demostración
3.2. TEOREMA DE IGUALDAD – MULTIPLICACIÓN
Si a =b, entonces a * c = b * c, c
Si multiplicamos al número real “a” otro número real “c”, el resultado obtenido es un número real único: a * c
Demostración
3.3. TEOREMA DE CANCELACION – ADICION
Si a + c = b + c, entonces a = b
3.4. TEOREMA DE CANCELACION – MULTIPLICACION
Si a * c = b * c, c 0, entonces a = b
3.5. TEOREMA: a, se cumple: a.0 = 0...
SISTEMA DE LOS NUMEROS REALES.
1. INTRODUCCION.
Como parte de la exploración de conocimientos previos, es bueno preguntar qué números irracionales conocen, la diferencia entre un irracional y un racional. Al estudiar en la presente unidad además de conocer los números irracionales que son las raíces cuadradas de los números naturales que no son cuadrados perfectos, esnecesario que también conocer la existencia otros números irracionales tales como: número y el número e. (número e base de los logaritmos neperianos).
De manera similar a los sistemas de números naturales, enteros y racionales, se hace una presentación axiomática. Los axiomas que se dan son los mismos que los dados para los números racionales.
El sistema de los números racionales satisfacetodos los axiomas del sistema de los números reales, excepto del Axioma del Supremo. Así, sin este axioma, no podríamos demostrar la existencia de los números irracionales tales como .
A continuación exponemos la demostración de que no puede expresarse como el cociente de dos números enteros y que en consecuencia es un número irracional.
Supongamos que y a y b primos entre sí (a/b fracciónirreducible)
Entonces, a2 = 2b2 a2 es par a es par
Es decir, a = 2m a2 = 4m2, entonces 2b2 = 4m2 b2 = 2m2
b2 es par b es par.
2. DEFINICION AXIOMÁTICA.
El Sistema de los Números Reales, es un conjunto denotado por (), que está provisto de dos operaciones internas: adición y multiplicación., de un axioma de distribución de la multiplicación respecto de la adición, de axiomasrelativos a la igualdad, axiomas relativos a la relación de orden menor y de un axioma del supremo.
A continuación enunciaremos, ordenadamente cada uno de los axiomas:
2.1. AXIOMAS DE ADICIÓN (, +, 0)
La adición es una operación interna (cerrada o de clausura) definida en , tal que, a cada par (a, b) de números reales corresponde al único número real a + b, llamado la suma de a y b.NOTACIÓN: + : x
( a, b) a + b
AXIOMAS:
A1: Si a y b , entonces ( a + b ) (Cerradura o clausura)
A2: a + b = b + a, a, b (Conmutativa)
A3: (a + b) + c = a + ( b + c), a, b y c ( Asociativa)
A4: ! 0 / 0 + a = a + 0 = a (Elemento Neutro Aditivo)
A5: a , ! –a / a + (-a) = (-a) + (a) = 0 (Inverso Aditivo)
2.2. AXIOMAS DE MULTIPLICACIÓN (,* , 1)
Lamultiplicación es una operación interna (cerrada o de clausura) definida en , tal que, a cada par (a, b) de números reales corresponde al único número real a * b, llamado el producto de a y b.
NOTACIÓN: * : x
( a, b) a * b
AXIOMAS:
M1: Si a y b , entonces ( a * b ) (Cerradura o clausura)
M2: a * b = b * a, a, b (Conmutativa)
M3: (a * b) * c = a * ( b* c), a, b y c ( Asociativa)
A4: ! 1 / 1 * a = a * 1 = a (Elemento Neutro Multiplicativo)
A5: a0, ! a-1 = / a * a-1 = a-1*a = 1 (Inverso Multiplicativo)
2.3. AXIOMA DISTRIBUTIVA DE LA MULTIPLICACIÓN RESPECTO DE LA ADICIÓN.
a( b+c) = ab + ac, a, b y c
2.4. AXIOMA DE LA IGUALDAD
Para los números reales a, b y c se cumplen los siguientes axiomas:
I1: a = a, a.(reflexiva)
I2: a = b b = a (simétrica)
I3: Si a = b b = c a = c (transitiva)
3. TEOREMAS RELATIVOS
3.1. TEOREMA DE IGUALDAD – ADICION
Si a = b, entonces a + c = b + c, c
Si sumamos al número real “a” otro número real “c”, el resultado obtenido es un número real único: a + c
Demostración
3.2. TEOREMA DE IGUALDAD – MULTIPLICACIÓN
Si a =b, entonces a * c = b * c, c
Si multiplicamos al número real “a” otro número real “c”, el resultado obtenido es un número real único: a * c
Demostración
3.3. TEOREMA DE CANCELACION – ADICION
Si a + c = b + c, entonces a = b
3.4. TEOREMA DE CANCELACION – MULTIPLICACION
Si a * c = b * c, c 0, entonces a = b
3.5. TEOREMA: a, se cumple: a.0 = 0...
Leer documento completo
Regístrate para leer el documento completo.