Numeros Reales

Unidad 1.- Números Reales
1.1 La recta numérica.
Es posible asociar el conjunto de los números reales con el conjunto de los puntos en una recta, de modo que a cada número real a corresponda u punto y uno sólo; y que recíprocamente, a cada punto P de la recta, le corresponda exactamente un número real.
La recta numérica es un gráfico unidimensional de una línea en la que los números enterosson mostrados como puntos especialmente marcados que están separados uniformemente. Frecuentemente es usada como ayuda para enseñar la adición y la sustracción simples, implicando especialmente números negativos.

La recta numérica real o recta de coordenadas es una representación geométrica del conjunto de los números reales. Tiene su origen en el cero y se extiende en ambas direcciones, lospositivos en un sentido (normalmente hacia la derecha) y los negativos en el otro (normalmente a la izquierda). Existe una correspondencia uno a uno entre cada punto de la recta y un número real. Se usa el símbolo para este conjunto.

1.2 Los números reales.
Los números reales se utilizan en todas las fases de las matemáticas.
Algunos ejemplos de números reales son:
1, 73, -5, 49/12, 0,, , 0.3333… 596.25
Clasificación de los números reales

El conjunto de los números reales se dice que es cerrado respecto a las operaciones de suma (denotada por +) y multiplicación (denotada por • ) Esto significa que a cada par de números reales a, b le corresponde un número real a +b llamado la suma de a y b y un único número real a • b llamado el producto de a y b.
Algunaspropiedades de los números reales son:

Propiedad Adición Multiplicación
Conmutativa a+b=b+a, ab=ba
Asociativa a+(b+c)=(a+b)+c, a(bc)=(ab)c
Neutros a+0=a=0+a, a•1=a=1•a
Inversos a+(-a)=0=(-a)+a a(1/a)=1=(1/a)a
Distributivas a(b+c)=ab+ac a(+b)c=ac+bc

Definición de a-1 =1/a
Propiedades de los negativos:
-(-a)=a (-a)b=-ab=a(-b)
(-a)(-b)=ab (-1)a=-a
Definición de la resta:
a – b =a + (-b)Definición de la División:
a ¸ b = a(1/b) 0 ab-1
Propiedades de los Cocientes:
a/b=c/d Si y sólo si ad = bc
a/b =ad/bd, a/-b =-a/b
a/b + c/b = (a+c)/b a/b + c/d = (ad+bc)/bd
a/b • c/d = ac/bd a/b ¸ c/d = a/b • d/c = ad/bc
Tarea 1.2 Investigar las propiedades de los números reales: Tricotomía, Transitividad, Densidad, Axioma del Supremo.
1.3 Propiedades de los números reales.
1.3.1 Tricotomía.
Sea un conjunto X parcialmente ordenado por la relación ≤, y sea < la relación de orden estricta asociada.
En X se cumple la ley de tricotomía si para cada par de elementos x e y, se tiene una sola de las siguientes relaciones:
x > y
y < x
x = y
 1.3.2. Transitividad
Dados a; b; c Є R si
a > b y b > c
Entonces a > c
 1.3.3 Densidad
Dados a; b Є R si a > bentonces existe un elemento x Є R tal que a > x y x > b:

 1.3.2. Transitividad
Dados a; b; c Є R si
a > b y b > c
Entonces a > c
 1.3.3 Densidad
Dados a; b Є R si a > b entonces existe un elemento x Є R tal que a > x y x > b:

 1.3.4 Axioma del Supremo
Sea A  R tal que existe k Є R con la propiedad de que k > a para toda a Є R:
Entonces existe un elemento s Є R tal que cumple lapropiedad anterior y además si k’ es otro numero que cumple la propiedad entonces s < k’.

1.4 Intervalos y su representación mediante desigualdades.
Si a y b son números reales y a – b es positivo, se dice que a es mayor que b y se escribe a > b. Equivalentemente, se dice que b es menor que a y se escribe b < a. Los símbolos < ó > se llaman signos de desigualdad; y las expresiones como a > bó b < a se llaman desigualdades.
Definición de > y <
a > b significa que a – b es positivo
b < a significa que a – b es positivo
a > 0 si y sólo si a es positivo
a < 0 si y sólo si a es negativo
Propiedades de las desigualdades:
I) Si a > b y b > c, entonces a > c
II) Si a > b, entonces a + c > b + c
III) Si a > b y c > 0, entonces ac > bc
IV) Si a > b y c > 0, entonces ac > bc...