Tema 5

Tema 5

Sucesiones de n´
umeros reales
Definici´
on 5.1 – Llamaremos sucesi´
on de n´
umeros reales a cualquier aplicaci´on f : IN −→ IR y
la representaremos por {an }∞
,
donde
a
en que la
n = f (n). Por comodidad, diremos tambi´
n=1
∞
sucesi´on es el conjunto ordenado de las im´agenes en IR, {an }n=1 = {an : n ∈ IN} ⊂ IR.
Definici´
on 5.2 – Diremos que una sucesi´on {an }∞
un K ∈ IR+ tal
n=1 esacotada si existe alg´
que |an | ≤ K , para todo n ∈ IN.

5.1

L´ımite de una sucesi´
on.

Definici´
on 5.3 – Diremos que la sucesi´on {an }∞
ımite a, y lo denotaremos por
n=1 tiene por l´
lim an = a, si para cada ε > 0 existe n0 ∈ IN tal que ∀n ≥ n0 se verifica que |an − a| < ε.

n→∞

Definici´
on 5.4 – Diremos que lim an = +∞, si para cada K > 0 existe n0 ∈ IN tal que
n→∞
∀n ≥ n0 se verifica quean > K .
Diremos que lim an = −∞, si para cada K > 0 existe n0 ∈ IN tal que ∀n ≥ n0 se verifica
n→∞
que an < −K .
Para simplificar, escribiremos en ocasiones an −→ L para representar lim an = L.
n→∞

5.1.1

Operaciones con los l´ımites.

Suma de l´ımites 5.5 – Si existe el lim an = a ∈ IR y existe el lim bn = b ∈ IR, entonces existe
n→∞
n→∞
el lim (an + bn ) y se tiene que lim (an + bn ) = a +b.
n→∞

n→∞

Adem´as, cuando a y b pueden ser infinitos, se asegura la existencia del l´ımite de la suma en
los casos que aparecen en el siguiente cuadro:
a = −∞
a ∈ IR
a = +∞

b = −∞ b ∈ IR b = +∞
−∞
−∞
−∞
a+b
+∞
+∞
+∞

Producto de l´ımites 5.6 – Si existe el lim an = a ∈ IR y existe el lim bn = b ∈ IR, entonces
n→∞
n→∞
existe el lim (an · bn ) y se tiene que lim (an · bn ) = a · b.
n→∞

n→∞Adem´as, cuando a y b pueden ser infinitos, se asegura la existencia del l´ımite del producto en
los casos que aparecen en el siguiente cuadro:
b = −∞ b < 0 b = 0 b > 0 b = +∞
a = −∞
+∞
+∞
−∞
−∞
a<0
+∞
ab
0
ab
−∞
a=0
0
0
0
a>0
−∞
ab
0
ab
+∞
a = +∞
−∞
−∞
+∞
+∞
Sucesiones y Series de Funciones.

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5.1 L´ımite de una sucesi´on.

Cociente de l´ımites 5.7 – Si existe el lim an = a ∈ IR y existe el lim bn= b ∈ IR, con b = 0,
n→∞
n→∞
entonces existe el lim abnn y se tiene que lim abnn = ab .
n→∞

n→∞

Adem´as, cuando a y b pueden ser infinitos y b = 0, se asegura la existencia del l´ımite del
cociente en los casos que aparecen en el siguiente cuadro:
b = −∞ b < 0
a = −∞
+∞
a<0
a=0
a>0
a = +∞

a
b

0
0
0

b=0
b > 0 b = +∞
→ +∞ −∞

|an |
|bn |
|an |
|bn |

a
b

→ +∞

0

0
0
0

0

a
b

−∞

|an |
|bn|
|an |
|bn |

→ +∞

a
b

→ +∞

+∞

en los casos para b = 0 no se garantiza la existencia del l´ımite, aunque s´ı que | abnn | −→ +∞.
Potencias de l´ımites 5.8 – Si existe el lim an = a ∈ IR, con a > 0, y existe el lim bn = b ∈ IR
n→∞

n→∞

entonces existe el lim an bn y se tiene que lim an bn = ab .
n→∞

n→∞

Adem´as, cuando a y b pueden ser infinitos ´o a = 0, se asegura la existencia del l´ımitede la
potencia en los casos que aparecen en el siguiente cuadro:
b = −∞ b < 0 b = 0 b > 0 b = +∞
a=0
+∞
+∞
0
0
0 +∞
ab
1
ab
0
a=1
1
1
1
a>1
0
ab
1
ab
+∞
a = +∞
0
0
+∞
+∞
Nota: Recordemos que la operacion ab , cuando a y b son n´
umeros reales, se define mediante
ab = eb ln a y, por tanto, debe ser a > 0. S´olo en el caso en que b ∈ ZZ (an o a−n ) puede usarse
(n)

un a negativo, pues entoncesan = aa · · · a; como en (−1)3 = (−1)(−1)(−1) = −1.
Observaci´
on 5.9 – En los casos de los cuadros en blanco no hay un criterio general y, seg´
un sean
∞
las sucesiones {an }∞
y
{b
}
,
el
l´
ımite
puede
ser
cualquier
valor
o
no
existir.
En
estos
casos
n n=1
n=1
en que al operar con l´ımites no se puede decidir “a priori” cual ser´a el resultado de la operaci´on
se dice que tenemos unaindeterminaci´
on o que el l´ımite est´a indeterminado, y habr´a que
manipular los t´erminos de las sucesiones que intervienen para saber si existe o no dicho l´ımite.
∞
Ejemplo.- Sean {an = 2n + 1}∞
n=1 y {bn = n}n=1 , entonces lim an = lim (2n + 1) = +∞
n→∞

n→∞

y lim bn = lim n = +∞, por lo que lim 2n+1
est´a “a priori” indeterminado
n→∞
n→∞
n→∞ n
operando en el cociente formado, se tiene
2n + 1
1
=...

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