NumReal

Tema

1

Números reales
Comprender el conjunto de los números reales, su estructura y sus principales propiedades,
es el primer paso imprescindible en el estudio del Análisis Matemático. Presentaremos dicho
conjunto sin dar una definición concreta de número real, pues lo importante no es saber qué es
un número real, sino qué propiedades tiene el conjunto de los números reales. Lo que haremos
seráenumerar una serie de propiedades de este conjunto, elegidas de forma que de ellas puedan
deducirse todas las demás y tomaremos estas propiedades como axiomas, que admitimos sin
demostración y son el punto de partida en nuestro trabajo.
Admitimos pues la existencia de un conjunto R, cuyos elementos son los números reales,
que tiene todas las propiedades que iremos enumerando como axiomas y que serefieren a tres
estructuras presentes en el conjunto R: dos operaciones y una relación de orden.

1.1.

Suma y producto de números reales

En el conjunto R tenemos una operación llamada suma, que a cada par (x, y) de números
reales asocia un único número real, denotado por x+y. También tenemos otra operación llamada
producto, que a cada par (x, y) asocia un único número real, denotado por x · y,o bien por xy.
Los primeros tres axiomas nos aseguran que la suma y el producto tienen propiedades que nos
resultan muy familiares:
A1 [Asociatividad]: La suma y el producto son operaciones asociativas:
(x + y) + z = x + (y + z) ,

(xy)z = x(yz) ,

∀ x, y, z ∈ R

A2 [Conmutatividad]: La suma y el producto son operaciones conmutativas:
x+y = y+x,

xy = yx ,

∀ x, y ∈ R

A3 [Distributividad]: Elproducto tiene la propiedad distributiva con respecto a la suma:
x(y + z) = xy + xz

∀ x, y, z ∈ R

Observemos que los axiomas anteriores ni siquiera aseguran todavía que el conjunto R no
sea vacío, pero enseguida van a aparecer explícitamente los primeros números reales.
1

1. Números reales

2

A4 [Elementos neutros]: Existen dos números reales distintos que son elementos neutros
para la suma ypara el producto, respectivamente.
Comentemos brevemente este último axioma. Un elemento neutro para la suma será un
c ∈ R tal que x + c = x para todo x ∈ R. Comprobamos inmediatamente que c es único, le
llamamos cero y le denotamos por 0. Es costumbre denotar por R∗ al conjunto de los números
reales distintos de cero, o números reales no nulos: R∗ = R \ {0} = {x ∈ R : x = 0}.
Análogamente,tendremos un único elemento neutro para el producto, el número real uno,
denotado por 1, que se caracteriza porque 1 · x = x para todo x ∈ R. Obsérvese que el axioma
anterior nos garantiza que 1 = 0, es decir, 1 ∈ R∗ . Veamos ya el último axioma sobre la suma y
el producto de números reales.
A5 [Elementos simétricos]: Cada número real tiene un elemento simétrico respecto de la
suma y cada número real nonulo tiene un simétrico respecto del producto.
Este axioma requiere también algunas aclaraciones. Para x ∈ R, un elemento simétrico de x
respecto de la suma será un y ∈ R tal que x + y = 0. Se comprueba inmediatamente que tal y es
único, se le denomina opuesto de x y se le representa por −x. Observamos que, a su vez, x es
el opuesto de −x, es decir, −(−x) = x. Para cualesquiera u, v ∈ R podemosahora considerar la
diferencia u − v = u + (−v).
Por otra parte, para x ∈ R∗ el simétrico de x respecto del producto también es único, se le
llama inverso de x y se representa por x−1 o también por 1/x. Naturalmente el inverso de x se
caracteriza por la igualdad xx−1 = 1 y es claro que también x es el inverso de x−1 , es decir,
−1
x−1
= x. Si ahora u ∈ R y v ∈ R∗ , podemos considerar el cociente u/v= uv−1 . Conviene
advertir que 0 no tiene inverso, pues es fácil comprobar que 0 · z = 0 para todo z ∈ R, luego
ningún z ∈ R puede verificar que 0 · z = 1. Por tanto, el cociente u/0 no tiene sentido.
Los cinco axiomas anteriores nos proporcionan ejemplos interesantes de algunos tipos de
estructura algebraica. Concretamente, R con la operación suma es un grupo abeliano, es decir
un conjunto...