Numreales

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Presentación Axiomática de los Números
Reales

1.1

Axiomas de los Números Reales

Aceptaremos la existencia de un conjunto R cuyos elementos llamaremos
números reales,provisto de dos operaciones binarias internas + y · que satisfacen los siguientes axiomas:
Axiomas de Cuerpo
C1. a + b = b + a, ∀a, b ∈ R

C2. (a + b) + c = a + (b + c), ∀a, b.c ∈ R
C3. ∃0 ∈ R tal que a + 0 = a, ∀a ∈ R
C4. ∀a,∃u ∈ R tal que a + u = 0
C5. ab = ba, ∀a, b ∈ R
C6. (ab)c = a(bc), ∀a, b, c ∈ R
C7. ∃1 ∈ R tal que a · 1 = a, ∀a ∈ R
C8. ∀a 6= 0, ∃v ∈ R, tal que a · v = 1
C9. a(b + c) = ab + ac, ∀a, b, c ∈ R
Observaciones: Los elementos 0 y 1 de C3 y C7 son únicos, también los son
los elementos u y v de C4 y C5, u se denota por −a ( opuesto de a) y v se
denota por x−1 o por x1 ( inverso de x).
Consecuencias de losAxiomas de Cuerpo A partir de los axiomas
de cuerpo y de las propiedades de la igualdad, se pueden deducir todas las
reglas algebraicas básicas de la operatoria con números reales. Alguna de
estas propiedades son:
1. a + c = b + c ⇐⇒ a = b
2. c 6= 0, ac = bc ⇒ a = b
3. (−1)a = −a; −(−a) = a; (−a)b = a(−b) = −(ab); (−a)(−b) = ab
4. Si a 6= 0 , entonces (a−1 )−1 = a
5. Si a 6= 0, la ecuación ax + b= c, tiene solución única en R.
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6. −(a + b) = (−a) + (−b)
7. Si a, b 6= 0, entonces (ab)−1 = a−1 b−1
8. ab = 0 ⇐⇒ a = 0 o b = 0
Demostración. Solamente para ilustrar las técnicas, demostraremos 1, 5,
y 6.
1.- Demostración de la implicación ⇒: Si a + c = b + c, entonces
(a + c) + (−c) = (b + c) + (−c), luego asociando:
a + (c + (−c)) = b + (c + (−c))
lo que implica que a + 0 = b + 0,
de dondese obtiene a = b
5.- a−1 (c − b) es solución de la ecuación puesto que
−1
a(a (c − b)) + b = (aa−1 )(c − b) + b = (c − b) + b = c.
Veamos ahora que es única:
si u y v son soluciones de la ecuación ax+b = c, se obtiene que au+b = av +b
de donde au = av y como a 6= 0, se tiene que u = v.
6.- (a + b) + ((−a) + (−b)) = (a + b) + ((−b) + (−a))
= a + ((b + (−b)) + (−a)) = a + (0 + (−a)) = a + (−a) = 0.La conclusión se obtiene por la unicidad de los opuestos.
Para los números reales a y b, la diferencia a − b se define por:
a − b := a + (−b). Si además b 6= 0, el cuociente ab , se define mediante la
relación ab := ab−1
Resultan de inmediato:
• a − b = c ⇐⇒ a = b + c
a
• = c ⇐⇒ a = bc, siempre que b 6= 0
b
• −(a − b) = b − a
Continuando con la lista de propiedades que se deducen de los axiomas
decuerpo:
a
a −a a a −1 b
−a
=
=− ;
= ;( ) =
b
−b
b −b
b b
a
a c
ac
2. · =
b d
bd
1.

2

3.

a c
a d
÷ = ·
b d
b c

4.

a+b
a b
+ =
c c
c

ad + bc
a c
+ =
b d
bd
ac
a
6.
= , siempre que c 6= 0
bc
b
c
a
7. = ⇐⇒ ad = bc
b
d
5.

8.

c
b
d
c
d
b
a
a
= ⇐⇒ = ⇐⇒ = ⇐⇒ =
b
d
a
c
a
b
d
c

Axiomas de Orden Con el fin de disponer de un criterio que nos
permita “ comparar ” números reales, se define en R, unarelación de orden
compatible con las operaciones de adición y multiplicación ( con la estructura
de cuerpo). Esto nos permite hablar de R como un cuerpo ordenado.
O. Existe un subconjunto P de R que verifica las siguientes propiedades:
O1. ∀a, b ∈ P =⇒ a + b ∈ P (P es cerrado para la suma)
O2. ∀a, b ∈ P =⇒ a · b ∈ P (P es cerrado para la multiplicación)
O3. Dado a ∈ R, una y sólo una de lassiguientes condiciones se verifica:
a ∈ P, a = 0, −a ∈ P
Notar que el conjunto P es no vacío puesto que 1 ∈ R, 1 6= 0,entonces por
O3 se tiene 1 ∈ P o bien −1 ∈ P. Esta última opción no puede darse (¿por
qué?).
Sean a y b números reales, diremos que a es menor que b, lo que escribimos
a < b, si b − a ∈ P. Diremos que a es menor o igual que b, los que escribimos
a ≤ b, si a < b o a = b.
El conjunto Precibe el nombre de conjunto de los números reales positivos
y se suele denotar por R+

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Consecuencias de los Axiomas de Orden
1. Ley de Tricotomía: Si a y b son dos números reales , una y sólo una
de las siguientes condiciones se verifica: a < b, a = b, b < a.
2. ∀a ∈ R : a2 ≥ 0. En particular 1 ∈ P
3. a < b, b < c =⇒ a < c (transitividad)
4. a < b, c ∈ R =⇒ a + c < b + c
5. a < b, c < d =⇒ a...