Números Reales - Valor Absoluto
a) Calcular el valor de para que 3 sea ínfimo del siguiente conjunto, sabiendo que .
b) Escribir como intervalo el conjunto solución de A para .
c) Para el conjunto halladoen b) calcular: el conjunto de cotas inferiores, el ínfimo y el mínimo, si existen, y el conjunto de cotas superiores, el supremo y el máximo, si existen.
Solución:
a) Escribamos el conjuntocomo intervalo. Por hipótesis luego
Remplazando, podemos escribir:
Despejando:
Podemos observar que el conjunto en cuestión es el intervalo abierto
Recordemos quepor definición:
“el ínfimo de un conjunto es la mayor de sus cotas inferiores”
En este caso el conjunto de cotas inferiores es el intervalo , por lo tanto el ínfimo del conjunto es y el valor depara que 3 resulte ínfimo se obtiene resolviendo la siguiente ecuación:
b) Escribamos el conjunto para :
Resolvamos esta inecuación con valor absoluto. Para ello, debemos resolverdos ecuaciones en paralelo pues:
Luego:
Luego:
El conjunto solución es:c) Antes de resolver este inciso recordemos:
“Sea un conjunto de :
es cota superior de si
es supremo de si es la menor de las cotas superiores
es máximo de si es la menor de las cotassuperiores y
es cota inferior de si
es ínfimo de si es la mayor de las cotas inferiores
es mínimo de si es la mayor de las cotas inferiores y ”
En resumen, un número real se dice cotasuperior de un conjunto A de números reales, si es mayor o igual que cualquier elemento de A; supremo de A si es la menor de las cotas superiores y decimos que es máximo de A si es cota superior ypertenece al conjunto A. Llamamos, cota inferior de un conjunto A de números reales, a un número real que es mayor o igual que cualquier elemento de A; supremo de A si es la menor de las cotas superiores...
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