Valor Absoluto

1

Cap´
ıtulo 5

Valor Absoluto
M.Sc. Alcides Astorga M., Lic. Julio Rodr´
ıguez S.

Instituto Tecnol´gico de Costa Rica
o
Escuela de Matem´tica
a

···
Revista digital Matem´tica, educaci´n e internet (www.cidse.itcr.ac.cr)
a
o

2
Cr´ditos
e

Primera edici´n impresa:
o
Edici´n LaTeX:
o
Colaboradores:
Edici´n y composici´n final:
o
o
Gr´ficos:
a
Comentarios ycorrecciones:

´
Rosario Alvarez, 1984.
Marieth Villalobos, Alejandra Araya, Jessica Chac´n, Marianela Abarca, Lisseth Angulo.
o
y Walter Mora.
Cristhian Pa´z, Alex Borb´n, Juan Jos´ Fallas, Jeffrey Chavarr´
e
o
e
ıa
Walter Mora.
Walter Mora, Marieth Villalobos.
escribir a wmora2@yahoo.com.mx

Contenido
5.1

5.1

Ecuaciones e Inecuaciones con valor absoluto . . .
5.1.1 Propiedadesdel valor absoluto . . . . . . .
5.1.2 Ecuaciones que involucran valor absoluto .
5.1.3 Inecuaciones que involucran valor absoluto

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.3
.5
. 11
. 25

Ecuaciones e Inecuaciones con valor absoluto

Nuestro objetivo en este cap´
ıtulo es lograr que el estudiante resuelva ecuaciones e inecuaciones que involucran
valor absoluto de expresiones algebraicas de la forma ax + b, donde a y b son constantes reales con a = 0, y x
es una variablereal.
Para esto conviene recordar la definici´n de valor absoluto siguiente:
o
Para cada n´mero real x, se define su valor absoluto (y se denota |x| ) de la siguiente manera:
u
|x|

=

x

si

x

≥

0

x

<

0

o
|x|

=

−x

si

Esta definici´n frecuentemente se denota de la siguiente manera:
o

|x| =

x
−x

si
si

x≥0
x

5
4





∴

|5 −4x| =

5 − 4x



 −(5 − 4x)

si

x≤

5
4

si

x>

5
4

Con esta informaci´n construimos la siguiente tabla:
o

−∞

5/4

+∞

|5 − 4x|

5 − 4x

−(5 − 4x)

2|5 − 4x| = x + 2

2(5 − 4x) = x + 2

2[−(5 − 4x)] = x + 2

10 − 8x = x + 2

2[−5 + 4x] = x + 2

−8x − x = 2 − 10

−10 + 8x = x + 2

−9x = −8

8x − x = 2 + 10

x=

8
9

7x = 12
x=como

∴

8
5
∈ −∞,
9
4
S1 =

8
9

como

∴

12
5
∈
, +∞
7
4
S2 =

De aqu´ se tiene que el conjunto soluci´n S de 2 4 (5 − 4x)4 = x + 3 es
ı
o

Ejercicios 2
Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones:
1.) |x| = 7

12
7

12
7

8 12
,
97

, o sea S =

8 12
,
97

J. Rodr´
ıguez S. A. Astorga M.

19

2.) |2x + 5| = −8
3.) | − 2x + 9| = 11
4.)−3|3 − 2x| = −12
5.) |3x + 2| = x + 1
6.) 2|2x − 5| = x − 3
7.) 3| − 5x − 1| = −2x + 3
8.) −1 − 2|5 − 3x| = x
9.)

6

(2x + 1)6 = 3

10.) −2
11.)

(1 − 7x)2 = −6

(x − 2)2 + 3x = 6

12.) x + 2 4 (x − 6)4 = 5
13.) 2|x| + |x − 1| = 4
14.) |2x − 3| − 2|x| = 3
15.)

x−1
=2
x+1
(x − 7)2

16.) 2|3x − 1| =

17.) 2|2 − x| + |2x − 1| = x
18.) |3 − 2x| − 3|x + 2| − x = 0
Nota:En las ecuaciones, que resolveremos a continuaci´n, omitiremos algunos pasos al escribir la definici´n de
o
o
cada uno de los valores absolutos involucrados.

Soluci´n
o
1.) 2|x| + |x − 1| = 4
En este caso se tiene que:


a.) |x| =



x

si

x≥0

−x

si

x 0
8.) 2|3 − x| − 10 ≥ 0
9.) |x − 3| ≤ 2x − 5
10.) |x| + 3 ≥ 2x
11.)

6

(2x + 1)6 > 3
2
x+1
5

12.)

2−x 0
por propiedad 1;
|5x + 2| ≥ 0, ∀x, x ∈ R
por propiedad 2;
|5x + 2| = 0

⇐⇒

5x + 2

=

0

⇐⇒

5x

=

−2

⇐⇒

x

=

−2
5

J. Rodr´
ıguez S. A. Astorga M.
∴

|5x + 2| > 0; ∀x, x ∈ R, tal que x =

∴

S =R−

29

−2
5

−2
5

8.) 2|3 − x| − 10 ≥ 0
2|3 − x| − 10 ≥ 0

2|3 − x| ≥ 10

⇐⇒

|3 − x| ≥ 5

⇐⇒

3−x ≥ 5

o

3 − x ≤ −5...