Números Reales
NÚMEROS REALES
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REFLEXIONA Y RESUELVE
El paso de
■
ZaQ
Di cuáles de las siguientes ecuaciones se pueden resolver en Z y para cuáles es
necesario el conjunto de los números racionales, Q.
a) –5x = 60
b) –7x = 22
c) 2x + 1 = 15
d) 6x – 2 = 10
e) –3x – 3 = 1
f) – x + 7 = 6
Se pueden resolver en
Hay que recurrir a
El paso de
■
Z a), c), d) y f).Q para resolver b) y e).
QaÁ
Resuelve, ahora, las siguientes ecuaciones:
a) x 2 – 9 = 0
b) 5x 2 – 15 = 0
c) x 2 – 3x – 4 = 0
d) 2x 2 – 5x + 1 = 0
e) 7x 2 – 7x = 0
f) 2x 2 + 3x = 0
a) x 2 – 9 = 0 8 x = ±3
b) 5x 2 – 15 = 0 8 x 2 = 3 8 x = ± √3
c) x 2 – 3x – 4 = 0 8 x =
3 ± √9 + 16
3±5
=
=
2
2
4
–1
—
—
d) 2x 2 – 5x + 1 = 0 8 x =
5 ± √17
5 ± √25 – 8=
=
4
4
5 + √17
—
4—
5 – √17
—
4
e) 7x 2 – 7x = 0 8 x 2 – x = 0 8 x = 0, x = 1
f) 2x 2 + 3x = 0 8 x (2x + 3) = 0 8 x = 0, x = –
Unidad 1. Números reales
3
2
1
Números irracionales
■
Demuestra que √2 es irracional. Para ello, supón que no lo es: √2 =
p
. Eleva
q
al cuadrado y llega a una contradicción.
Supongamos que √2 no es irracional. Entonces, sepodría poner en forma de fracción:
√2 =
p
p2
8 2 = 2 8 p 2 = 2q 2
q
q
En p 2, el factor 2 está un número par de veces (es decir, en la descomposición de
factores primos de p 2, el exponente de 2 es par). Lo mismo ocurre con q 2. Por tanto, en 2q 2 el exponente de 2 es un número impar. De ser así, no se podría cumplir
la igualdad.
Suponiendo que √2 =
p
llegamos a una contradicción:
q“p 2 = 2q 2, pero p 2 no puede ser igual a 2q 2”.
Por tanto, √2 no puede ponerse en forma de fracción. No es racional.
■
Obtén el valor de F teniendo en cuenta que un rectángulo de dimensiones
F : 1 es semejante al rectángulo que resulta de suprimirle un cuadrado.
1
F–1
F
F
1
=
8 F(F – 1) = 1 8 F2 – F – 1 = 0
1
F–1
—
F=
1 ± √1 + 4
=
2
1 + √5
—
2—
1 – √5
—(negativo)
2
Como F ha de ser positivo, la única solución válida es F =
2
√5 + 1
2
.
Unidad 1. Números reales
UNIDAD
1
P ágina 28
1. Sitúa los siguientes números en el diagrama:
)
3
3
√3 ; 5; –2; 4,5; 7, 3; – √6 ; √64 ; √–27 ; √–8
Á
Q
Z
Á
N
Q
—
√3
)
7,3
4,5
3—
– √6
Z
N
5
—
√ 64 = 8
–2
—
√ –8
—
√–27 = –3
32. Sitúa los números del ejercicio anterior en los siguientes casilleros. Cada número puede estar en más de una casilla.
NATURALES,
ENTEROS,
N
Z
RACIONALES,
REALES,
Q
Á
NO REALES
Añade un número más (de tu cosecha) en cada casilla.
NATURALES,
ENTEROS,
N
REALES,
Á
NO REALES
Unidad 1. Números reales
—
3
—
5; –2; √ 64; √ –27
Z
RACIONALES,—
5; √ 64
Q
)
3
—
—
5; –2; 4,5; 7, 3; √ –27; √ 64
—
)
3
—
—
3
—
√ 3; 5; –2; 4,5; 7,3; –√6; √ 64; √ –27
—
√ –8
3
P ágina 29
3. Representa los siguientes conjuntos:
b) [4, + @)
a) (–3, –1)
a)
c)
–3
b)
–1 0
3
0
6
d) (– @, 0)
c) (3, 9]
0
4
d)
9
0
4. Representa los siguientes conjuntos:
a) { x / –2Ì x < 5}
b) [–2, 5) « (5, 7]
c) (– @, 0) « (3, + @)
d) (– @, 1) « (1, + @)
a)
–2
c)
0
0
b)
5
–2
d)
3
0
5
7
01
Página 30
1. Halla los siguientes valores absolutos:
a) |–11|
b) |π|
c) |– √5|
d) |0|
e) |3 – π|
f) |3 – √2|
g) |1 – √2 |
h) |√2 – √3 |
i) |7 – √50 |
a) 11
b) π
c) √5
d) 0
e) |3 – π| = π – 3
f)|3 – √ 2 | = 3 – √ 2
g) |1 – √ 2 | = √ 2 – 1
h) | √ 2 – √ 3 | = √ 3 – √ 2
i) |7 – √ 50 | = √ 50 – 7
2. Averigua para qué valores de x se cumplen las siguientes relaciones:
a) |x| = 5
b) |x| Ì 5
c) |x – 4| = 2
d) |x – 4| Ì 2
e) |x – 4| > 2
f ) |x + 4| > 5
a) 5 y –5
c) 6 y 2
d) 2 Ì x Ì 6; [2, 6]
e) x < 2 o x > 6; (– @, 2) « (6, + @)
4
b) – 5 Ì x Ì 5;...
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