Olimpiadas

Cuadriláteros Cíclicos
Resolver problemas de Geometría Plana en las competencias, frecuentemente se
reduce a demostrar la igualdad de algunos ángulos. Una buena idea en tales
situaciones es buscar cuadriláteros cíclicos, porque los cuadriláteros cíclicos tienen
dos propiedades:
•

el ángulo formado por un lado y una diagonal es igual al ángulo formado
por el lado opuesto y la otradiagonal, y

•

un ángulo es igual al suplemento de su ángulo opuesto.

En ambos casos las igualdades permanecen porque los ángulos están inscritos en
arcos iguales.

El objetivo de esta sección es llevar a la práctica la resolución de problemas donde
se involucran cuadriláteros cíclicos. Los problemas que hemos escogido pueden ser
resueltos usando estas dos propiedades.
Aquí hay algunosejemplos:
Ejemplo 1.
Sea AB el diámetro de una semicircunferencia. Un punto M es marcado sobre la
semicircunferencia, y un punto K es marcado sobre AB. Una circunferencia con
centro P pasa por A, M y K, y otra circunferencia con centro Q pasa por M, K y B.
Demostrar que M, K, P y Q son concíclicos.
Demostración.
Del circuncírculo de AMK, tenemos que ∠MPK = 2 ∠MAK ; y del circuncírculo
de MBK,tenemos que ∠MQK = 2∠MBK . Luego, como AB es diámetro, el ángulo
AMB es recto, por lo que:

90° = ∠MAK + ∠MBK =

1
1
1
∠MPK + ∠MQK = (∠MPK + ∠MQK ) .
2
2
2
M

Q
P
A

K

B

Es decir: ∠MPK + ∠MQK = 180° , de donde el cuadrilátero MPKQ es cíclico, es
decir, M, K, P y Q son concíclicos.
Ejemplo 2.
Sea AB una cuerda de una circunferencia y P un punto sobre ella. Sea Q laproyección de P sobre AB y R y S las proyecciones de P sobre las tangentes a la
circunferencia en A y B, respectivamente. Probar que PQ es la media geométrica de
PR y PS (esto es: PQ 2 = PR ⋅ PS ).
Demostración.
P

R

S
A

Q

B

Probaremos que los triángulos PQR y PQS son semejantes. Esto implicará que
PQ PS
=
, por lo cual PQ 2 = PR ⋅ PS .
PR PQ
Notemos que los cuadriláteros PQARy PQBS son cíclicos, pues sus ángulos
opuestos suman 180°. Del cuadrilátero PQAR obtenemos que ∠PRQ = ∠PAQ , y

del cuadrilátero PQBS obtenemos ∠PQS = ∠PBS . Pero los ángulos inscritos
∠PAQ y ∠PBS son iguales. Esto implica que ∠PRQ = ∠PQS . Un argumento
similar muestra que ∠PQR = ∠PSQ . Esto implica que los triángulos PQR y PQS
son semejantes, y con esto podemos concluir.
Ejemplo 3.
SeanA y B los puntos en común de dos circunferencias secantes. Una recta pasa
por A e intersecta a las circunferencias en C y D. Sean P y Q las proyecciones de B
sobre las tangentes a las dos circunferencias en C y D, respectivamente. Probar que
PQ es tangente al círculo de diámetro AB.
Demostración.
Después de dibujar la figura, nos damos cuenta que posiblemente el punto de
tangencia esté sobreCD. Denotemos por M a la intersección de la circunferencia de
diámetro AB con la recta CD y probemos que PQ es tangente al círculo en M.
D

Q
T
A
M
O1

C

O2

B
P

Haremos la prueba para la configuración que se muestra en la figura, los otros
casos son completamente análogos. Sea T la intersección de las tangentes en C y D.
Los ángulos ABD y ADT son iguales, por abrir el mismoarco AD. Similarmente,
los ángulos ABC y ACT son iguales, pues abren el mismo arco AC. Esto implica que
∠CBD = ∠ABD + ∠ABC = ∠ADT + ∠ACT = 180° − ∠CTD .
De la última igualdad nos damos cuenta que el cuadrilátero TCBD es cíclico.
Además, el cuadrilátero TPBQ también es cíclico pues tiene dos ángulos opuestos
de 90°. Con todo esto tenemos que ∠PBQ = 180° − ∠CTD = ∠CBD . Restándole el
ángulo∠CBQ a ambos obtenemos que ∠CBP = ∠QBD .

Los cuadriláteros BMCP y BMQD son cíclicos, ya que ∠ CMB = ∠ CPB = ∠ BQD =
∠ DMB = 90°. Entonces, se cumple que:
∠CMP = ∠CBP = ∠QBD = ∠QMD ,

lo cual muestra que P, M y Q son colineales.
Luego, como PBMC es cíclico, tenemos que ∠ BMP = ∠ BCP, y como los ángulos
∠ BAC y ∠ BCP son iguales por abrir el mismo arco BC, tenemos que:
∠ BMP = ∠ BAC = ∠...