Operadores en Derive

Operadores Mec´anico Cu´anticos en Derive 6.1
Pedro Gonz´alez Beermann

1.

Operadores

Un operador es una regla matem´atica que permite la transformaci´on de una funci´on en otra. Usualmente
los operadores se denotan con letras may´
usculas con acento circunflejoˆde tal manera que:
ˆ (x) = g(x)
Af

(1)

donde el operador Aˆ act´
ua sobre la funci´on f (x) transform´andola en una nueva funci´ong(x).
ˆ = d que deriva una funci´on f (x) respecto a x. Si la funci´on f (x) es
Por ejemplo veamos al operador D
dx
derivable entonces obtendremos una nueva funci´on g(x).
Ejemplo 1 Sea f (x) = 3x2 + 5x
ˆ (x) = d (f (x)) = g(x)
Df
dx
2
ˆ
D(3x + 5x) = 6x + 5

En Derive 6.0, podemos definir un operador como un procedimiento cuyo argumento es la funci´on a ser
ˆ y la funci´on f (x) definidas en eltransformada. Utilicemos como ejemplo el operador primera derivada D
ˆ
Ejemplo 1. En Derive podemos expresar a D y f (x) de la siguiente manera:
#1 D(u):=dif(u,x,1)
#2 f:=3x2 + 5x
#3 D(f)
#4 6x+5
En la primera l´ınea se asigna a la funci´on D(u) con argumento u la operaci´on primera derivada con
respecto a x. El argumento u se pasa a la funci´on y se le efect´
ua la operaci´on indicada en el ladoderecho
de la proposici´on. En la segunda l´ınea se define la funci´on f asign´andole como 3x2 + 5x. Finalmente en la
tercera l´ınea se aplica el operador D(f ) a la funci´on f .
NOTA: Luego de escribir cada l´ınea debemos presionar la tecla ✭✭Enter✮✮. Para que Derive ejecute la
l´ınea #3 es necesario presionar la tecla ✭✭=✮✮ dando como resultado #4 6x + 5.

1

1.1.

Suma y Diferencia de Operadoresˆ de la forma
Definimos la Suma y Diferencia de dos operadores Aˆ y B
ˆ (x) = Af
ˆ (x) + Bf
ˆ (x)
(Aˆ + B)f
ˆ (x) = Af
ˆ (x) − Bf
ˆ (x)
(Aˆ − B)f
Ejemplo 2 Sea Aˆ =

d
dx

ˆ = 3 y Cˆ = Aˆ + B
ˆ entonces
,B

ˆ 3 − 5) = C(x
ˆ 3 − 5) = (
(Aˆ + B)(x

d
d 3
+ 3)(x3 − 5) =
(x − 5) + 3(x3 − 5) = 3x2 + (3x3 − 15) = 3x3 + 3x2 − 15
dx
dx

En Derive podemos realizar estas operaciones de la siguientemanera:
#1

A(u):=dif(u,x,1)

#2

B(u):=3*u

#3

C(u):=A(u)+B(u)

#4

C(x3 − 5)

✭✭=✮✮
Respuesta
#5

1.2.

3(x3 + x2 − 5)

Producto de Operadores

ˆ se define como
El producto de dos operadores Aˆ y B
[
]
ˆ (x) = Aˆ Bf
ˆ (x)
AˆBf

ˆ sobre f (x) y a continuaci´on tomamos la funci´on resultante para
Primero hacemos actuar el operador B
ˆ
aplicarle el operador de la derecha A
Ejemplo 3 Dado los operadoresAˆ =

d
dx

ˆ=3
yB

ˆ (x) = A(3f
ˆ (x)) = d (3f (x)) = 3f ′ (x)
AˆBf
dx
ˆ=B
ˆ A,
ˆ pero en general no podemos esperar que AˆB
ˆ y B
ˆ Aˆ
Para este caso en particular resulta que AˆB
produzcan los mismos resultados.

2

En Derive este problema lo podemos plantear como sigue:
#1

A(u):=dif(u,x,1)

#2

B(u):=3*u

#3

f(x):=

En este caso podemos indicar que la funci´on f depende de x sin asignarlening´
un argumento. Definidos
ˆ planteamos el producto AˆBf
ˆ (x)
los operadores Aˆ y B
#4

A(B(f(x)))

✭✭Enter✮✮
✭✭=✮✮
Lo cual resulta en:
#5

3 · f ′ (x)

#6

B(A(f(x)))

✭✭Enter✮✮
✭✭=✮✮
#7

3 · f ′ (x)

ˆ=B
ˆ Aˆ
donde se demuestra que en este caso en particular el operador AˆB
ˆ son iguales si Af
ˆ = Bf
ˆ para toda funci´on f .
Se dice que dos operadores Aˆ y B
De acuerdo al ´algebra deoperadores, el operador ˆ1 (multiplicaci´on por 1) es el operador unidad y el
operador ˆ0 (multiplicaci´
on por 0) es el operador nulo. Generalmente se elimina el acento circunflejo cuando
el operador es una constante multiplicativa.

1.3.

Conmutador

ˆ B]
ˆ de los operadores Aˆ y B
ˆ como
Definimos el conmutador [A,
ˆ B]
ˆ = AˆB
ˆ −B
ˆ Aˆ
[A,
ˆ=B
ˆ Aˆ entonces [A,
ˆ B]
ˆ = 0 y se dice que los operadoresAˆ y B
ˆ comutan. Por otro lado, si AˆB
ˆ ̸= B
ˆ Aˆ
Si AˆB
ˆ no comutan.
entonces Aˆ y B
ˆ=
Ejemplo 4 Dado los operadores Aˆ = 3 y B
[

d
dx .

ˆ B]
ˆ como
Calculamos el conmutador [A,

]
d
ˆ
3,
f (x) = 3f ′ (x) − f ′ (x)3 = 0
dx

mientras que el conmutador
[

]
d
d
df
df
df
,x
ˆ f=
(xf ) − x
=x
+f −x
= f = ˆ1f
dx
dx
dx
dx
dx

por lo tanto los operadores

d
dx

yx
ˆ no conmutan.
3

En Derive...