optimizacion de funciones
Páginas: 29 (7050 palabras)
Publicado: 21 de octubre de 2013
MATEMÁTICAS PARA ECONOMISTAS
Carlos Orihuela Romero, MSc
CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN
Optimización es el proceso de hallar el máximo o mínimo relativo de una función,
generalmente sin la ayuda de gráficos.
4.1 Conceptos claves
A continuación se describirá brevemente algunos conceptos necesarios para
comprender apropiadamente el tema de optimización.
4.1.1 Funciones crecientes ydecrecientes
Se dice que una función f(x) es creciente (decreciente) en x=a, si en la vecindad
inmediata del punto [a,f(a)] el gráfico de la función crece (cae) al moverse de izquierda
a derecha. Puesto que la primera derivada mide la tasa de cambio y la pendiente de
una función, una primera derivada positiva en x=a indica que la función es creciente
“a”; una primera derivada negativa indica que esdecreciente.
Gráfico 4-1
Función creciente en x = a
Función decreciente en x = a
(Pendiente >0)
(Pendiente 0: función creciente en x = a
f´(a) < 0: función decreciente en x= a
4.1.2 Concavidad y convexidad
Una función f (x) es cóncava en x = a, si en alguna pequeña región cercana al punto
[a, f(a)] el gráfico de la función se ubica completamente debajo de su línea tangente.
Unafunción es convexa en x = a, si en un área cercana a [a, f(a)] el gráfico esta
complemente arriba de su línea tangente. Una segunda derivada positiva en x = a
CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN
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denota que la función es convexa en x = a. Análogamente, una segunda derivada
negativa en x = a denota que la función es cóncava en “a”.Gráfico 4-2
Convexo en x=a
f′(a) > 0
f′′(a) > 0
f′(a) < 0
f′′(a) > 0
y
y
x
x
a
a
Cóncavo en x=a
f′(a) > 0
f′′(a) < 0
f′(a) < 0
f′′(a) < 0
y
y
x
a
x
a
f′′(a) > 0: f(x) es convexo en x = a
f′′(a) < 0: f(x) es cóncavo en x = a
4.1.3 Extremo relativo
Un extremo relativo es un punto en el cual una función esta a un máximo o mínimo.
Para ello, lafunción debe estar en un punto en el cual no esta creciendo ni
decreciendo, y por ende, su primera derivada debe ser igual a cero o indefinida. Un
punto en el dominio de una función donde la derivada iguala a cero o es indefinida es
llamado punto o valor critico.
CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN
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Gráfico 4-3
Mínimo relativo enx=a
f′(a) = 0
Máximo relativo en x=a
f′′(a) > 0
f′(a) = 0
y
f′′(a) < 0
y
x
x
a
a
4.1.4 Puntos de inflexión
Un punto de inflexión es un punto en el grafico donde la función cruza su línea
tangente y cambia de cóncavo a convexo y viceversa. Los puntos de inflexión pueden
ocurrir solo donde la segunda derivada iguala a cero o es indefinida. Es decir, f′′(a)=0.Gráfico 4-4
f′′(a)=0
f′(a) = 0
f′(a) = 0
y
f′(a) < 0
y
a
x
f′(a) > 0
y
a
y
x
x
x
a
a
f′′(a) = Nd
f′(a) > 0
f′(a) < 0
y
y
x
CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN
f′(a) = 0
y
x
x
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4.2 Optimización sin restricción
4.2.1 Funciones objetivo de una variable
Sea lafunción: y = f(x), los pasos o condiciones para obtener el (los) máximo(s) o
mínimo(s) relativo(s) serán:
1. Identificar los puntos críticos. Tomar la primera derivada e igualarla a 0,
dy
=0
dx
2. Tomar la segunda derivada, evaluar los puntos críticos, y revisar los signos. Esta
condición es llamada “condición suficiente”. Si un punto critico es “a”, entonces:
•
f′′(a) < 0, la función escóncava en “a”, por ende un máximo relativo
•
f′′(a) > 0, la función es convexa en “a”, por ende un mínimo relativo
•
f′′(a) = 0, el test es inconcluso y es necesario realizar el test de las “derivadas
sucesivas”:
-
Si el primer valor diferente de cero de una derivada de orden superior,
cuando se evalúa un punto critico es una derivada de grado impar (tercer,
quinto,...
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CAPITULO 4: OPTIMIZACIÓN
Optimización es el proceso de hallar el máximo o mínimo relativo de una función,
generalmente sin la ayuda de gráficos.
4.1 Conceptos claves
A continuación se describirá brevemente algunos conceptos necesarios para
comprender apropiadamente el tema de optimización.
4.1.1 Funciones crecientes ydecrecientes
Se dice que una función f(x) es creciente (decreciente) en x=a, si en la vecindad
inmediata del punto [a,f(a)] el gráfico de la función crece (cae) al moverse de izquierda
a derecha. Puesto que la primera derivada mide la tasa de cambio y la pendiente de
una función, una primera derivada positiva en x=a indica que la función es creciente
“a”; una primera derivada negativa indica que esdecreciente.
Gráfico 4-1
Función creciente en x = a
Función decreciente en x = a
(Pendiente >0)
(Pendiente 0: función creciente en x = a
f´(a) < 0: función decreciente en x= a
4.1.2 Concavidad y convexidad
Una función f (x) es cóncava en x = a, si en alguna pequeña región cercana al punto
[a, f(a)] el gráfico de la función se ubica completamente debajo de su línea tangente.
Unafunción es convexa en x = a, si en un área cercana a [a, f(a)] el gráfico esta
complemente arriba de su línea tangente. Una segunda derivada positiva en x = a
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denota que la función es convexa en x = a. Análogamente, una segunda derivada
negativa en x = a denota que la función es cóncava en “a”.Gráfico 4-2
Convexo en x=a
f′(a) > 0
f′′(a) > 0
f′(a) < 0
f′′(a) > 0
y
y
x
x
a
a
Cóncavo en x=a
f′(a) > 0
f′′(a) < 0
f′(a) < 0
f′′(a) < 0
y
y
x
a
x
a
f′′(a) > 0: f(x) es convexo en x = a
f′′(a) < 0: f(x) es cóncavo en x = a
4.1.3 Extremo relativo
Un extremo relativo es un punto en el cual una función esta a un máximo o mínimo.
Para ello, lafunción debe estar en un punto en el cual no esta creciendo ni
decreciendo, y por ende, su primera derivada debe ser igual a cero o indefinida. Un
punto en el dominio de una función donde la derivada iguala a cero o es indefinida es
llamado punto o valor critico.
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Gráfico 4-3
Mínimo relativo enx=a
f′(a) = 0
Máximo relativo en x=a
f′′(a) > 0
f′(a) = 0
y
f′′(a) < 0
y
x
x
a
a
4.1.4 Puntos de inflexión
Un punto de inflexión es un punto en el grafico donde la función cruza su línea
tangente y cambia de cóncavo a convexo y viceversa. Los puntos de inflexión pueden
ocurrir solo donde la segunda derivada iguala a cero o es indefinida. Es decir, f′′(a)=0.Gráfico 4-4
f′′(a)=0
f′(a) = 0
f′(a) = 0
y
f′(a) < 0
y
a
x
f′(a) > 0
y
a
y
x
x
x
a
a
f′′(a) = Nd
f′(a) > 0
f′(a) < 0
y
y
x
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f′(a) = 0
y
x
x
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4.2 Optimización sin restricción
4.2.1 Funciones objetivo de una variable
Sea lafunción: y = f(x), los pasos o condiciones para obtener el (los) máximo(s) o
mínimo(s) relativo(s) serán:
1. Identificar los puntos críticos. Tomar la primera derivada e igualarla a 0,
dy
=0
dx
2. Tomar la segunda derivada, evaluar los puntos críticos, y revisar los signos. Esta
condición es llamada “condición suficiente”. Si un punto critico es “a”, entonces:
•
f′′(a) < 0, la función escóncava en “a”, por ende un máximo relativo
•
f′′(a) > 0, la función es convexa en “a”, por ende un mínimo relativo
•
f′′(a) = 0, el test es inconcluso y es necesario realizar el test de las “derivadas
sucesivas”:
-
Si el primer valor diferente de cero de una derivada de orden superior,
cuando se evalúa un punto critico es una derivada de grado impar (tercer,
quinto,...
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