OPTIMIZACION

Se les llama ejercicios de optimizacin a aquellos en los que se busca obtener un mnimo de costo, utilizar un mnimo de material, tener un volumen mximo, esto es, cuando se busca optimizar los recursos. A continuacin se presentan cuatro problemas de este tipo. Los problemas no utilizan datos reales, sin embargo, presentan una posible aplicacin del clculo a problemas reales de la oceanologa.Ejemplo 1. Se quiere hacer un encierro de atn de forma cilndrica para permitir el movimiento de los organismos. Las paredes y el fondo estarn hechos con red. Se ha determinado que el volumen ideal para los encierros es de 100 m3. Calcular las dimensiones que debe tener el encierro para utilizar la menor cantidad de red posible. Se conoce el volumen del cilindro que conformar el encierro y se buscaque el area de la red sea mnima. Por lo tanto, se debern plantear dos frmulas el volumen de un cilindro (dato conocido) y el rea del mismo. EMBED Equation.DSMT4 La ecuacin (1) da la frmula para calcular el volumen de un cilindro. En ella se observa que hay dos variables el radio, r, y la altura, h. En la figura adyacente se muestra un cilindro extendido. Tambin, se puede observar que elrea total del encierro estar dada por la suma de las reas de las paredes y el fondo. Por lo tanto, EMBED Equation.DSMT4 En la ecuacin (2) existen las mismas dos variables. Se busca que el valor de A en (2) sea mnimo. Sin embargo, esta ecuacin tiene dos variables. Para escribir (2) en trminos de una sola variable para poder obtener el mnimo del rea, se utilizar la ecuacin (1). Entonces,despejando h en (1) se obtiene EMBED Equation.DSMT4 Este valor se sustituye en (2) EMBED Equation.DSMT4 La ecuacin (3) describe el rea como funcin, nicamente, del radio. Esta expresin se deriva para encontrar el valor del radio que resulte en un punto crtico del rea. EMBED Equation.DSMT4 Los puntos crticos se encuentran igualando la derivada a cero, por lo tanto EMBED Equation.DSMT4 Porlo tanto, si el radio es de r 3.17 m, el rea ser mxima o mnima. Por lo tanto, se comprobar que este valor del radio corresponde al rea mnima utilizando el criterio de la segunda derivada. EMBED Equation.DSMT4 La segunda derivada es positiva, por lo tanto, el punto crtico encontrado es un mnimo. De (1) se despej EMBED Equation.DSMT4 , por lo tanto, si r 3.17 m , entonces, EMBEDEquation.DSMT4 . El encierro deber tener un radio de 3.17 m y una profundidad o altura de 3.17 m para ocupar la menor cantidad de material posible teniendo un volumen de 100 m3. Ejemplo 2. Se cuenta con el dinero para comprar 500 m2 de terreno. Dentro de este terreno se quieren construir cuatro estanques rectangulares para el cultivo de un molusco dado. Encontrar las dimensiones del terreno quegaranticen que el rea de cada estanque ser mxima. La separacin entre estanques y con la reja que cercar el terreno debe de ser de 2 m. SHAPE MERGEFORMAT Se conoce el rea total del terreno EMBED Equation.DSMT4 y se busca que el rea de los estanques sea mxima. El rea de un estanque va a estar dada por el producto entre la base del estanque y la altura del mismo. La base de un estanque, bi, esEMBED Equation.DSMT4 ya que hay una separacin de 2 m entre la reja y el estanque y, a su vez, 2 m entre cada estanque. En total, se deben dejar 10 m para estos espacios. Como sern cuatro estanques, el resultado de b-10 se debe dividir entre cuatro. De igual forma, la altura de cada estanque hi es EMBED Equation.DSMT4 dada la separacin entre la reja y los estanques como se muestra en lafigura. Entonces, el rea de cada estanque es EMBED Equation.DSMT4 y, se haba determinado que la relacin entre la base del terreno y la altura del mismo est dada por EMBED Equation.DSMT4 . Este valor se sustituye en la ecuacin de Ai EMBED Equation.DSMT4 Se busca el rea mxima, por lo tanto, la ltima expresin se derivar e igualar a cero. EMBED Equation.DSMT4 Se descarta el valor negativo...