ORDEN SUPERIOR

CAPÍTULO

4
Ecuaciones diferenciales de orden superior

4.2 Reducción de orden
Hallar un método para encontrar soluciones que formen un conjunto fundamental de la ED será nuestro
trabajo en las siguientes secciones.

4.2.1

Reducción de orden en ED lineales de segundo orden

Consideremos la ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden:
a2 .x/y 00 C a1 .x/y 0 C a0 .x/y D 0;
de la cual seconoce una solución que llamaremos y1 . De acuerdo con lo visto en la sección anterior, requerimos una segunda solución y2 de la ecuación diferencial de tal manera que el conjunto f y1 ; y2 g constituya
un conjunto fundamental de soluciones.
A fin de encontrar esta segunda solución, aplicaremos un método llamado variación de parámetros que se
debe a D’Alembert.
La idea fundamental es lasiguiente: debido a que la ecuación es lineal, y dado que y1 es solución, entonces
ay1 para a constante, también es solución. La pregunta que se formula en este método es ¿cómo encontrar
una función u, de tal manera que y2 D uy1 también sea solución de la ecuación?
Para el desarrollo de la idea de D’Alembert, requerimos, en primer lugar, normalizar la ecuación; esto es,
necesitamos que el coeficiente de y00 sea 1. Para ello, dividimos la ecuación entre a2 .x/:
y 00 C p.x/y 0 C q.x/y D 0, donde p.x/ D

a1 .x/
a0 .x/
y donde q.x/ D
, con a2 .x/ ¤ 0:
a2 .x/
a2 .x/

Queremos ahora determinar bajo qué condiciones podemos asegurar que y2 D uy1 es solución. Constatamos que, por ser y1 solución de la ED, tenemos:
y100 C py10 C qy1 D 0:
1. canek.azc.uam.mx: 23/ 9/ 2010

1

2

Ecuaciones diferencialesordinarias

Si derivamos y2 dos veces, hallamos:
y2 D uy1 :
y20 D uy10 C u 0 y1 :
y200 D uy100 C 2u 0 y10 C u 00 y1 :
Sustituyendo en la ED y200 C py20 C qy2 D 0, obtenemos:

 › ”

uy100 C 2u 0 y10 C u 00 y1 C puy10 C pu 0 y1 C qy1 u D 0:
y200

qy2

py20

Reagrupamos en términos de u, u 0 , u 00 y así resulta:

œ

u .y100 C py10 C qy1 / Cy1 u 00 C 2y10 u 0 C py1 u 0 D 0 ) y1 u 00 C 2y10 u 0 C py1 u 0D 0:
L.y1 / D 0

Si hacemos el cambio de variable w D u 0 , se tiene u 00 D w 0, por lo que la ED se reduce a otra de orden uno,
concretamente:
dw
y1 w 0 C 2y10 w C py1w D 0 ) y1
C 2y10 w C py1 w D 0:
dx
Si escribimos ahora la ecuación en forma diferencial, hallaremos:
y1 dw C 2y10 wdx C py1wdx D 0:
Esta última expresión es una ED que puede resolverse mediante separación de variables. En efecto,multi1
plicando por
, tenemos:
wy1
dw
y0
C 2 1 dx C pdx D 0:
w
y1
Integrando, encontramos:
y10
dx C
y1

dw
C2
w

pdx D C ) ln w C 2 ln y1 C

pdx D C:

Aplicando propiedades de logaritmos encontramos:
ln.y12 w/ C

pdx D C ) ln.y12 w/ D C

pdx:

Si ahora aplicamos la función exponencial,
y12 w D e C
Así,

R

pdx

D eC e

R

pdx

R

du
e pdx
wD
DC
) uDC
dx
y12

D Ce
e

R

R

pdx

:

pdx

y12

dx CK:

De esta manera, cualesquiera de las funciones u ¤ 0 que resulten de esta fórmula será de utilidad para
construir una segunda solución y2 D uy1 . Como
W .y1 ; y2 / D

y1
y10

DC

e

y2
y
D 10
y20
y1
R

pdx

2
y 
1
 

uy1
✟0
0 2
D✟
uy✟
1 y1 C u y1
uy10 C u 0 y1

2
.y
1 / D Ce
✓✓

R

pdx

¤ 0;

✟0
0 2
uy✟
1 y1 D u y1 D
✟

4.2 Reducción de orden

3

resulta que f y1 ; y2 g es un conjuntofundamental de soluciones. Tomamos el caso más sencillo para la
función u, esto es C D 1 y K D 0; u toma la forma de
R

e

uD

pdx

dx:

y12

En resumen, tenemos el siguiente resultado:.
Dada la ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden
(4.1)

y 00 C p.x/y 0 C q.x/y D 0
y una solución no nula y1 , entonces:
1. La función y2 D uy1 , donde
R

e

uD

pdx

dx;

y12

es también solución y, además, fy1 ; y2 g conforma un conjunto fundamental de soluciones de la
ecuación diferencial.
2. La solución general de la ED (4.1) está dada por:
y D c1 y1 C c2 y2 :

Ejemplo 4.2.1 Consideremos la ED lineal homogénea de segundo orden x 2 y 00 C 2xy 0

6y D 0.

1. Verificar que y1 D x 2 es una solución de la ED.
2. Encontrar una segunda solución y2 de la ecuación.
3. Escribir la solución general de la...