Parabola y Eclipse

LA PARABOLA

La  parábola  es  el  lugar  geométrico  de  los puntos del plano que equidistan de un punto fijo F, llamado foco, y de una recta fija r, llamada directriz. d(P,F) = d(P,r).


El segmento PF , donde P es un punto
de la parábola, se dice radio vector.

La perpendicular a la directriz
(recta r ) trazada por el foco, es el
eje (recta s ).


El punto de corte deleje con la parábola es el vértice. ( Punto V )

La distancia del foco a la directriz es el parámetro p,
           d(F,r) = p = RF.


Planteando la ecuación  d(P,F) = d(P,r) y desarrollando se obtiene una ecuación del tipo:
Ax2 + By2 + Cx + D y + E xy + F = 0


En  el caso de una parábola cóncava, con vértice V(0,0) y eje el de ordenadas, tendremos que F(0,p/2) y la recta r tiene ecuación r: ,  por lo que aplicando la definición:   d(P,F)=d(P,r) , y desarrollando nos queda:


por tanto x2= 2py   y de forma explícita  
 

Ecuación reducida de la parábola:
V(0,0),   F(0, p/2),   
eje y = 0,  y directriz y = -p/2

Variando el vértice de la parábola y con directrices horizontales o verticales se obtienen las parábolas siguientes:


V (x0, y0)
F (x0, y0+p/2)
Eje:   x =x0
Directriz:   y = y0 - p/2
                      Ecuación:

Ecuación:

Foco:  F (x0, y0-p/2)

Vértice: V (x0, y0)

Eje: x = x0

Directriz:  y = y0 + p/2




Ecuación: 

Foco: F ( x0 + p/2 , y0)
 Vértice:   V (x0, y0)
 Eje:   y = y0
 Directriz:  x = x0 - p/2


Ecuación:

Foco:   F ( x0 - p/2 , y0 )
Vértice:   V (x0 , y0)
Eje:   y = y0
Directriz:  x = x0 + p/2

LA ELIPSE
Definición: Se llama elipse al lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos F y F', llamados focos, es constante e igual a 2a (longitud del eje mayor o focal).
Los  segmentos  que unen un punto cualquiera P de la elipse con los focos, se denominan radio vectores.
Los puntos F y F' son los focos.
La distancia entre F y F' esla
distancia focal (2c).

El punto C es el centro de la
elipse.

El segmento AA' que pasa por
los focos se llama eje principal o mayor. También puede llamarse eje focal.
El segmento BB', mediatriz de FF',
se llama eje secundario o menor.
También puede llamarse eje no focal.

Los puntos A, A', B  y  B' son los vértices de la elipse.

d (C,F) = c (semidistancia focal)

d(C,A) = a (medida del semieje mayor)

d (C,B) = b (medida del semieje menor)

Por la definición de elipse, todo punto P(x,y) de la elipse verifica:
d(P,F) + d(P,F') = cte.

como el punto A es un punto de la elipse: d(A,F) + d(A,F') = cte.
pero d(A,F) + d(A,F') = (a-c)+(c+a)=2a,
por lo que la constante es justo la medida del eje mayor (2a).

El punto B también pertenece a la elipse, porlo que: d(B,F) + d(B,F') = 2a,

y teniendo en cuenta que: d(B,F) =  d(B,F')

obtenemos que: d(B,F) = a.

Luego,  considerando  el  triángulo  rectángulo  CBF y aplicando el teorema de Pitágoras  se tiene la relación fundamental de la elipse:   

a2 = b2 + c2


Se  define  la  excentricidad  de  una elipse, e, como el cociente  e = c/a . La excentricidad es el parámetro que nosda el grado de achatamiento de la elipse. Cuanto más se aproxime a cero menos achatada será la elipse.

Al ser c < a, se tiene que 0 < e < 1. Hay dos casos extremos:   

i) e = 0, entonces c = 0, luego F = F' = C      circunferencia.
ii) Si c = a, (c/a =1) luego b = 0    se reduciría a un segmento.

 
ECUACIÓN GENERAL.

Para  una elipse  de ejes oblicuos y focos F´(xo,yo) y F(x1,y1).  Sea P(x,y) un punto cualquiera de la elipse:
 
d(P,F) + d(P,F') = 2a 

y haciendo las convenientes  transformaciones se llega a una ecuación del tipo:

Ax2 + By2 + Cx + Dy + Exy + F = 0
En el caso más sencillo, es decir, una elipse horizontal centrada en el origen de coordenadas C(0,0) y con focos en el eje de abscisas en los puntos F(c,0) y F'(-c,0). Los puntos A y A' estarán...